核心结论：赔付后是否需要三方在场，并非法律强制要求，但建议根据具体情况选择是否安排三方在场，以确保赔付过程透明、纠纷彻底解决并保留证据。

以下是具体分析：

1. 法律并未强制要求赔付时必须三方在场
   根据《民法典》侵权责任编，未成年人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。赔付本质是监护人与受害方（或其监护人）之间的民事赔偿协商，法律未规定必须学校、双方监护人三方同时在场才能完成赔付。只要双方对赔偿金额、方式等达成一致，并签署书面协议（如《赔偿协议书》），赔付即可生效。

2. 建议三方在场的情形

   • 纠纷未彻底解决时：若双方对责任划分（如学校是否需承担部分责任）、赔偿金额存在争议，或受害方对赔付方案不信任，三方在场可由学校作为中立方协助调解，避免后续反悔。
     
   • 需学校协助履行义务时：若赔偿涉及学校配合（如提供监控录像、出具事故说明等），或学校曾承诺承担部分费用（如保险理赔），三方在场可明确各方责任，确保协议履行。
     
   • 保留证据需求：三方在场签署协议、交接赔付款项（如现金需当面清点，转账需备注用途），可形成完整证据链，降低后续纠纷风险。

3. 若选择不三方在场，需注意

   • 书面协议必须完善：双方需签署《赔偿协议书》，明确赔偿项目（医疗费、后续治疗费、误工费等）、金额、支付方式、违约责任等，并由双方监护人签字按手印。
     
   • 保留支付凭证：转账记录需备注“牙齿磕碰赔偿款”，现金交付需要求对方出具收条并签字。
     
   • 告知学校备案：即使不三方在场，也建议将赔偿协议复印件交学校备案，便于学校掌握情况并调整管理措施。

温馨提示：若涉及金额较大（如需种植牙等后续治疗）、对方态度反复，或您对责任划分不确定，可联系我进一步分析事故细节（如学校监控、老师证言等），帮您制定更稳妥的赔偿方案。