结论：若被邻居的狗咬伤而对方不肯出医药费，您可以通过以下步骤来维护自己的合法权益：首先确保及时就医并收集证据，其次尝试与邻居协商赔偿，若协商无果可寻求第三方调解，最后可通过法律途径解决。

一、及时就医并收集证据

1. 紧急处理伤口：被狗咬伤后，应立即用肥皂水和流动清水交替冲洗伤口至少15-20分钟，以减少病毒感染风险。若伤口较深，应尝试挤出污血。

2. 就医治疗：迅速前往医院接受专业处理，包括伤口消毒、清创，并根据医生建议接种狂犬病疫苗。严重情况下，可能还需注射破伤风疫苗或使用抗生素预防感染。务必保存所有医疗记录、诊断证明及费用发票，这些将是后续索赔的关键证据。

3. 收集其他证据：

   • 现场证据：如果可能，拍摄被咬伤的伤口照片、事故现场的照片或视频，以及目击者的联系方式和证言。
   • 报警记录：向当地公安机关报案，获取接警回执或相关记录。警方可能会介入调查，并出具事故认定书，这也是维权的重要依据。

二、与邻居协商赔偿

1. 友好沟通：在处理完伤口后，及时与邻居联系，说明被其家狗咬伤的情况，并友好、理性地提出赔偿要求。明确指出邻居作为狗的主人，依法应承担赔偿责任。

2. 赔偿范围：

   • 医疗费：涵盖挂号费、检查费、治疗费、药费、住院费等因治疗咬伤产生的合理费用，以实际票据金额为准。
   • 误工费：若因咬伤导致无法工作，需提供误工证明、工资收入证明及扣发证明，按实际减少的收入计算。
   • 护理费：伤情严重时需他人护理，护理人员有收入的参照误工费计算；无收入或雇佣护工的，按当地护工劳务报酬标准计算。
   • 交通费：受害人及其陪护人员因就医或转院治疗发生的费用，需凭正式票据且与就医地点、时间等相符。
   • 营养费：根据伤残情况及医疗机构意见确定，通常需医生注明需要加强营养，金额酌情确定。

三、寻求第三方调解

如果与邻居协商无果，可以考虑寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会或消费者协会等。这些机构通常会提供免费的调解服务，协助双方达成和解协议。

四、法律途径解决

1. 提起民事诉讼：若调解仍无法解决问题，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求邻居承担侵权责任并赔偿损失。根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条的规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明事故的发生和责任归属。

2. 申请强制执行：如果法院判决后对方仍不履行赔偿责任，您可以申请法院强制执行对方的财产。

五、注意事项

1. 了解诉讼时效：根据法律规定，身体受到伤害要求赔偿的诉讼时效期间为三年。因此，务必在规定的时效期内提起诉讼，否则可能丧失胜诉权。

2. 保持冷静理性：在整个处理过程中，保持冷静和理性至关重要。避免与邻居发生不必要的冲突，通过合法途径维护自己的权益。

作为张丽丽律师，我建议您在处理此类纠纷时，务必保留好所有相关证据，并按照上述步骤逐步进行。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。