结论：持刀伤人后的拘留天数及是否留下案底，需根据伤情严重程度、行为人主观动机及案件具体情况综合判断。行政拘留一般不超过20天且不会留下案底，而刑事拘留则可能持续数月甚至更长，且若最终被判刑则会留下案底。
一、拘留类型与期限
行政拘留：
- 适用情况：若持刀伤人行为尚未构成刑事犯罪，但违反了治安管理规定，如造成轻微伤或未造成实际伤害但具有威胁性行为，公安机关可能会对行为人处以行政拘留。
- 期限：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，行政拘留的期限一般为五日以上十日以下，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。在特殊情况下，如情节较重，可延长至十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。但总体最长不超过20天。
- 案底影响：行政拘留不会留下案底，但会留下违法记录，该记录在公安机关内部可以查询到，但一般不对外公开，且不影响行为人的正常生活和工作，除非涉及特定职业或政审等情形。
刑事拘留：
- 适用情况：若持刀伤人行为涉嫌刑事犯罪，如故意伤害罪或故意杀人罪，公安机关在立案后会对行为人采取刑事拘留措施。
- 期限：依据《中华人民共和国刑事诉讼法》，刑事拘留后提请审查批准的时间一般为三日以内，特殊情况下可延长一日至四日，对流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子可延长至三十日。人民检察院应在接到提请批准逮捕书后七日以内作出决定。因此，刑事拘留一般不超过14天，最长不超过37天。但后续可能因案件复杂性和司法程序进度而延长，如侦查阶段、审查起诉阶段和审判阶段等。
- 案底影响：若行为人最终被判刑，则会留下案底，即犯罪记录，该记录将伴随行为人一生，并可能影响其未来的就业、升学、出国等。
二、伤情严重程度与法律责任
轻微伤：
- 法律后果：主要承担行政责任，可能受到行政拘留和罚款的处罚，一般不会留下案底。
轻伤及以上：
- 法律后果：可能构成故意伤害罪，面临刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。若行为人最终被判刑，则会留下案底。
三、其他影响因素
- 主观动机：行为人的主观恶意程度，如是否预谋、是否具有报复心理等，会影响法律责任的轻重。
- 案件具体情况：包括作案动机、手段、是否有自首、立功等情节，以及是否取得被害人谅解等，均会影响最终判决结果和是否留下案底。例如，若行为人具有自首情节或取得被害人谅解，可能会从轻或减轻处罚，甚至可能免于刑事处罚，从而不留案底。
四、建议
- 若面临持刀伤人指控，应尽快寻求专业法律帮助，以确保自身权益得到妥善维护。
- 在接受调查或审判过程中，应如实陈述事实，积极配合司法机关的工作，争取从轻或减轻处罚。
- 若对拘留或判决结果有异议，可依法提出申诉或上诉，维护自己的合法权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。