当员工在工厂被开除时，赔偿问题确实是一个需要细致考虑和依法处理的重要环节。以下是对工厂开除员工赔偿问题的详细解答，希望能为您提供清晰、全面的指导。

一、无需支付赔偿的情形

首先，如果员工存在以下过错，工厂依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，那么工厂是无需向员工支付任何赔偿的：

1. 试用期间不符合录用条件：但工厂需要提供充分的证据，比如招聘时的录用标准以及员工未达到这些标准的具体表现。
2. 严重违反规章制度：工厂的规章制度必须合法制定，并且已经向员工公示。例如，员工多次旷工或严重违反操作流程等。
3. 严重失职、营私舞弊：给工厂造成重大损害，这里的损害程度需要以工厂的规章制度或行业惯例为准。
4. 双重劳动关系影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本厂工作任务造成严重影响，或者经工厂提醒后拒不改正。
5. 劳动合同无效：因员工欺诈、胁迫等手段使工厂在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任：员工因犯罪被人民法院判处刑罚。

二、需支付经济补偿的情形

在以下情形下，工厂需要提前三十日以书面形式通知员工，或者额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同，并向员工支付经济补偿：

1. 患病或非因工负伤：员工在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事工厂另行安排的工作。
2. 不能胜任工作：经过培训或调整工作岗位后，员工仍不能胜任工作。
3. 客观情况发生重大变化：如工厂搬迁、被兼并等，导致劳动合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。
4. 经济性裁员：符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条规定的情形，如工厂经营困难需要裁员等。

经济补偿的计算方法：

• 员工每工作一年，工厂需支付一个月工资作为补偿。
• 工作年限不满六个月的，按半个月工资计算。
• 若员工月工资高于当地月平均工资三倍，经济补偿金按当地月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。这里的月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

三、违法解除需支付赔偿金的情形

如果工厂违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，比如无故辞退员工，或者在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动合同，那么工厂应依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

四、特殊情况的赔偿考虑

1. 未提前通知的代通知金：如果工厂没有提前三十日以书面形式通知员工本人就解除劳动合同，需要额外支付员工一个月工资作为代通知金。但需注意，并非所有情况下都适用代通知金，具体取决于解除合同的法律依据。
2. 未支付劳动报酬或经济补偿的加付赔偿金：如果工厂存在拖欠工资、加班费或经济补偿等行为，且逾期不支付的，劳动行政部门可以责令其支付，并按照应付金额的50%以上100%以下的标准向员工加付赔偿金。

五、赔偿的具体操作建议

1. 了解法律依据：员工应首先了解《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规中关于解除劳动合同和经济补偿的规定。
2. 收集证据：保留好劳动合同、工资条、考勤记录、解雇通知书等证据材料，以便在需要时证明自己的权益。
3. 与工厂协商：尝试与工厂进行协商，争取达成合理的赔偿协议。
4. 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的还可以向人民法院提起诉讼。

综上所述，工厂开除员工的赔偿问题需要根据具体情况和法律规定来确定。希望以上解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。