结论概述：
- 法律上不存在“断绝父子关系”的效力，因此，即便宣称已断绝父子关系，在法律上父母与子女的关系依然存续。
- 若子女犯罪且需赔偿，父母一般无需承担赔偿责任，除非父母存在教唆、帮助等共同犯罪行为，或子女为无/限制民事行为能力人且父母未尽监护职责。
详细分析：
一、法律上“断绝父子关系”的无效性
在法律层面，父子关系是基于血缘或法律程序（如收养）而建立的，这种关系一旦形成，便受到法律的保护，不能通过简单的声明或协议来断绝。因此，即便双方宣称已经“断绝父子关系”，在法律上，这种关系依然存续，父母与子女之间的权利和义务并未因此消除。
二、子女犯罪时父母的赔偿责任
一般情况下的赔偿责任：
- 当子女犯罪并造成他人损害时，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯罪者本人应当承担刑事责任，并可能面临民事赔偿的责任。
- 在这种情况下，父母作为子女的法定监护人（若子女为无民事行为能力人或限制民事行为能力人），在特定情况下可能需要承担一定的监护责任，但这并不等同于直接承担子女的犯罪赔偿责任。
- 若子女已成年且具有完全民事行为能力，父母则无需因其犯罪行为而承担赔偿责任。
父母存在过错时的赔偿责任：
- 如果父母在子女的犯罪行为中起到了教唆、帮助等作用，那么父母可能会与子女构成共同犯罪，需要承担相应的刑事责任和民事赔偿责任。
- 另外，如果子女为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，且父母未尽到监护职责，导致子女犯罪并造成他人损害，父母可能需要承担一定的民事赔偿责任。但这种责任是基于监护失职，而非直接基于父子关系。
三、实际案例与法律适用
- 在实际案例中，法院会根据具体事实来判定父母是否需要承担赔偿责任。例如，如果子女犯罪时已成年且具有完全民事行为能力，且父母没有参与犯罪行为或未尽到监护职责，那么父母通常无需承担赔偿责任。
- 反之，如果父母在子女的犯罪行为中起到了关键作用，或者子女为无/限制民事行为能力人且父母未尽监护职责，那么父母可能需要承担相应的法律责任。
四、建议与后续行动
- 如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议首先咨询专业律师以获取具体的法律建议。
- 律师可以根据具体案情，分析父母是否需要承担赔偿责任，并提供相应的法律策略和辩护方案。
- 同时，保持冷静和理性，积极配合律师的工作，以便更好地维护自身权益。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。