结论：公司法定代表人变更后，可以与新任法定代表人签订劳动合同，但具体是否需要签订需根据实际情况判断。
分析说明：
法定代表人的法律地位：
- 法定代表人是指依法代表法人行使民事权利，履行民事义务的主要负责人。在劳动合同关系中，法定代表人本身并不直接作为劳动者与用人单位签订劳动合同，除非其同时担任公司内的某一具体职务（如总经理、董事长等）。
法定代表人变更后的劳动合同签订：
- 当公司法定代表人发生变更时，这并不意味着新任法定代表人自动成为公司的劳动者。新任法定代表人是否需要与公司签订劳动合同，取决于其是否在公司担任具体职务并从事劳动。
- 如果新任法定代表人同时担任公司内的某一具体职务（如总经理），并且该职务需要其提供劳动，那么公司应当与其签订劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 如果新任法定代表人并不在公司担任具体职务，或者虽然担任职务但并不从事实际劳动（如仅作为股东代表出席会议等），那么公司可能无需与其签订劳动合同。
劳动合同签订的必要性：
- 签订劳动合同是明确双方权利和义务的重要方式，有助于保护劳动者的合法权益，也有助于公司规范管理。
- 如果新任法定代表人同时担任公司内的具体职务并从事劳动，那么签订劳动合同可以确保双方对工作内容、薪酬、工作时间等关键条款有明确的约定，避免后续产生纠纷。
法律建议：
审查新任法定代表人的职务和劳动情况：
- 公司应首先审查新任法定代表人是否在公司担任具体职务，并判断其是否从事实际劳动。
根据实际情况决定是否签订劳动合同：
- 如果新任法定代表人同时担任公司内的具体职务并从事劳动，公司应与其签订劳动合同。
- 如果新任法定代表人并不在公司担任具体职务或并不从事实际劳动，公司可能无需与其签订劳动合同，但应确保双方的权利和义务通过其他方式（如公司章程、股东协议等）得到明确。
咨询专业律师：
- 在处理此类问题时，公司可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，确保公司的决策符合法律法规的要求。
可能后果：
- 如果公司未与新任法定代表人（同时担任公司内具体职务并从事劳动）签订劳动合同，可能会面临劳动纠纷的风险，如新任法定代表人主张未签订劳动合同的双倍工资差额等。
- 如果公司错误地与不担任具体职务或不从事实际劳动的新任法定代表人签订了劳动合同，可能会面临不必要的法律成本和纠纷。
如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。