在行政案件中，当事人可以申请再审的情形主要包括以下几种：
不予立案或者驳回起诉确有错误的：
- 如果法院最初决定不予立案或者驳回起诉，但当事人认为这一决定存在错误，例如法院未依法受理应当受理的案件，或者错误地驳回了当事人的合法起诉，那么当事人可以申请再审。
有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：
- 在原判决、裁定作出后，当事人如果发现了新的证据，且这些证据足以改变原判决、裁定的结果，那么当事人可以凭借这些新证据申请再审。
原判决、裁定认定事实的主要证据不足、未经质证或者系伪造的：
- 如果原判决、裁定所依据的主要证据存在不足，或者未经质证，或者被证实是伪造的，那么这些判决、裁定的基础就不稳固，当事人可以因此申请再审。
原判决、裁定适用法律、法规确有错误的：
- 法院在作出判决、裁定时，必须正确适用法律、法规。如果当事人认为原判决、裁定在法律适用上存在错误，例如错误地解释了法律条款，或者错误地适用了法律，那么可以申请再审。
违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的：
- 诉讼程序是保障公正审判的重要环节。如果法院在审理过程中违反了法律规定的诉讼程序，例如未依法保障当事人的诉讼权利，或者审判组织不合法，那么可能影响公正审判，当事人可以因此申请再审。
原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：
- 法院在作出判决、裁定时，应当严格依据当事人的诉讼请求进行。如果原判决、裁定遗漏了当事人的诉讼请求，或者超出了当事人的诉讼请求范围，那么当事人可以申请再审以纠正这一错误。
据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：
- 如果原判决、裁定是依据另一法律文书作出的，而该法律文书后来被撤销或者变更，那么原判决、裁定的基础就发生了变化，当事人可以因此申请再审。
审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为的：
- 审判人员的廉洁和公正性是保障审判公正的重要前提。如果审判人员在审理案件时存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法行为，那么当事人可以申请再审以维护自己的合法权益。
再审申请的法律背景与建议：
- 再审是当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误时，向法院提出重新审理的请求。它是一种特殊的救济程序，旨在纠正错误的判决、裁定，保障当事人的合法权益。
- 在申请再审时，当事人需要提交再审申请书，并附上相关证据材料。再审申请书应当明确说明再审的理由和依据，以及请求再审的具体事项。
- 需要注意的是，再审申请并不是无限制的。根据法律规定，当事人申请再审应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。因此，当事人在发现判决、裁定存在错误时，应当及时行使再审申请权。
可能产生的法律后果：
- 如果再审申请被法院受理并审查后认为符合再审条件，那么法院将裁定再审，并重新组成合议庭对案件进行审理。在再审过程中，原判决、裁定将被暂停执行。
- 如果再审申请被法院驳回，那么原判决、裁定将继续发生法律效力。当事人如果仍然不服，可以考虑通过其他途径寻求救济，如申请检察监督等。但需要注意的是，这些途径也有其特定的条件和限制。
总结与进一步思考：
行政案件的再审申请是当事人维护自己合法权益的重要途径之一。在申请再审时，当事人需要充分了解再审的条件和程序，并准备好相关证据材料。同时，当事人也需要认识到再审申请并不是无限制的，应当在法定期限内及时行使权利。如果对再审申请有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。