结论：欠信用卡7000多元确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉取决于多种因素。以下是对此问题的全面分析：
一、可能被起诉的情况
逾期时间长且无视催收：
- 如果持卡人长时间不还款，特别是逾期超过三个月，并且在银行多次通过电话、短信等方式催收时，态度恶劣、拒绝还款或故意躲避，银行为了收回欠款，很可能会采取法律手段起诉持卡人。例如，持卡人逾期超过90天，且对银行的催收电话和短信置之不理，银行就有可能启动法律程序。
银行内部政策影响：
- 不同银行对信用卡逾期的处理政策和流程有所不同。有些银行可能对逾期金额虽低但情况严重的账户采取起诉措施，以规范信用卡市场和警示其他持卡人。比如，某些银行对于连续逾期多次的账户，即使欠款金额不高，也可能选择起诉。
还款态度与信用记录：
- 持卡人的还款态度和信用记录也是银行考虑是否起诉的重要因素。若持卡人过去信用不良或逾期后未表现出积极的还款意愿，增加了被起诉的可能性。例如，持卡人之前有过多次逾期记录，且此次逾期后未与银行进行任何沟通，银行就可能认为其还款意愿不强，从而选择起诉。
二、可能不会被起诉的情况
还款意愿良好：
- 如果持卡人在逾期后主动与银行联系，说明困难情况并表达还款意愿，同时尝试按照协商的还款计划逐步还款，银行通常会考虑给予宽限期，降低起诉风险。比如，持卡人因突发疾病导致暂时无法还款，但及时与银行沟通并提供了相关证明，银行就可能给予一定的宽限期。
逾期时间较短且及时还清：
- 若持卡人只是短期逾期，并且很快还清了欠款，银行通常不会轻易起诉，可能只会进行催收并提醒按时还款。例如，持卡人因忘记还款日期而逾期一周，但在收到银行催收通知后立即还清了欠款，银行就不会选择起诉。
诉讼成本考量：
- 对于小额欠款如7000元，银行在决定是否起诉时还会考虑诉讼成本。如果诉讼成本过高，银行可能会选择其他方式追回欠款。比如，银行认为起诉该笔欠款所需的律师费、诉讼费等成本较高，且收回欠款的可能性不大，就可能选择通过其他催收方式来解决。
三、逾期不还被起诉的后果
经济负担加重：
- 被起诉并败诉后，持卡人除需偿还欠款本金外，还需支付高额罚息和诉讼费用。根据《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》，逾期利息、违约金或者其他费用总计不得超过合同成立时一年期贷款市场报价利率的四倍。但具体罚息和诉讼费用的计算还需根据银行合同和法院判决来确定。
强制执行措施：
- 如拒不履行还款义务，银行可申请法院强制执行，包括查封银行账户、冻结存款、拍卖财产等。例如，法院可以依法对持卡人的银行账户进行查封，冻结其存款，甚至拍卖其名下的房产或车辆等财产来偿还欠款。
信用记录受损：
- 逾期不还被起诉将严重影响持卡人的信用记录，留下不良记录，对未来贷款、购房、购车等金融活动造成障碍。根据《征信业管理条例》，个人不良信息的保存期限为自不良行为或者事件终止之日起5年。这意味着，即使持卡人后来还清了欠款，其不良信用记录也会保留5年之久。
四、建议
尽快还款或协商：
- 持卡人应尽快与银行联系并尝试还款或协商制定还款计划（如分期还款、延期还款等），以降低被起诉的风险。例如，持卡人可以与银行协商将7000元欠款分为12期进行偿还，以减轻还款压力。
保持良好沟通：
- 与银行保持积极沟通，展现还款意愿，有助于获得银行的理解和支持。持卡人可以定期向银行报告自己的还款进度和困难情况，以便银行及时了解并调整催收策略。
关注法律动态：
- 持卡人应关注相关法律法规的变化，及时了解自己的权利和义务，以便更好地应对可能的法律风险。例如，持卡人可以关注最高人民法院发布的关于信用卡纠纷的司法解释和案例，以便在面临法律纠纷时能够更好地维护自己的权益。
最后，欠信用卡7000多元确实存在被银行起诉的可能性，但具体结果取决于多种因素。为避免法律风险和信用损失，持卡人应尽快采取行动与银行协商解决问题。如果你有任何关于信用卡纠纷或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。