结论：持续签订的房屋租赁合同，在一定条件下能够对抗租赁合同履行期间设立的抵押权，这主要取决于租赁合同与抵押权设立的时间先后顺序以及相关法律的规定。
分析：
“买卖不破租赁”原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁物在承租人按照租赁合同占有期限内发生所有权变动的，不影响租赁合同的效力。这一原则同样适用于抵押权设立后租赁物所有权可能发生的变动情况，即如果租赁合同先于抵押权设立，那么租赁合同对受让人（包括抵押权人实现抵押权后的受让人）具有约束力，承租人有权继续租赁该房屋。
抵押权设立与租赁合同的关系：
- 如果抵押权设立在租赁合同之前，那么根据物权的优先性，抵押权人有权在实现抵押权时优先于承租人受偿，此时租赁合同可能无法对抗抵押权。
- 如果租赁合同先于抵押权设立，并且承租人已经合法占有租赁物，那么根据“买卖不破租赁”的原则，租赁合同能够对抗后续设立的抵押权。这意味着，即使抵押权人实现了抵押权，承租人仍然有权按照原租赁合同继续租赁该房屋。
特殊情况下的处理：
- 在某些特殊情况下，如抵押权人同意租赁合同的存在，或者租赁合同的存在不影响抵押权的实现，那么租赁合同与抵押权可能并存而不产生冲突。
- 另外，如果租赁合同存在瑕疵（如未经出租人同意转租、租赁期限超过法定上限等），那么这些瑕疵可能影响租赁合同的效力，进而影响其对抗抵押权的能力。
法律建议：
- 对于承租人：在签订租赁合同时，应尽可能了解房屋的权属状况，包括是否存在抵押权等。如果房屋已经设立抵押权，应谨慎考虑租赁风险，并尽可能与出租人、抵押权人协商达成一致意见，确保租赁合同的稳定性和有效性。
- 对于出租人：在设立抵押权前，应告知承租人相关情况，并协商处理租赁合同与抵押权的关系。如果因设立抵押权导致租赁合同无法继续履行，应承担相应的违约责任。
- 对于抵押权人：在实现抵押权时，应尊重租赁合同的效力，如果租赁合同先于抵押权设立且承租人已经合法占有租赁物，应允许承租人继续租赁该房屋。
可能后果：
- 如果租赁合同能够对抗抵押权，那么承租人将继续享有租赁权，抵押权人实现抵押权时可能受到一定限制。
- 如果租赁合同无法对抗抵押权，那么抵押权人实现抵押权时，承租人可能面临被要求搬离的风险，并可能因此遭受损失。
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