结论：公安部门确实会对私自砍伐树木的行为进行查处，但这一行为是否构成犯罪，需根据砍伐树木的数量、性质以及造成的后果等因素综合判断。

详细分析：

1. 行政处罚层面：

   • 私自砍伐树木，如果砍伐的是自己所有的树木，但未经林业主管部门批准，或者砍伐的是他人所有的树木，无论数量多少，都可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国森林法》的相关规定，未经批准擅自砍伐林木的，由林业主管部门责令补种树木、没收违法所得，并处以罚款。这种情况下，公安部门可能会配合林业主管部门进行调查处理。

2. 刑事犯罪层面：

   • 如果私自砍伐树木的行为情节严重，如砍伐的是国家重点保护植物，或者砍伐数量较大（如达到滥伐林木罪的立案标准），则可能构成犯罪。根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条的规定，滥伐林木罪是指违反森林法的规定，未经有关部门批准并核发林木采伐许可证，或者虽持有林木采伐许可证，但违反采伐许可证规定的时间、数量、树种或者方式，任意采伐本单位所有或者本人所有的森林或者其他林木，数量较大的行为。这种情况下，公安部门会依法立案侦查，追究犯罪嫌疑人的刑事责任。

3. 具体判断标准：

   • 砍伐树木的数量是判断是否构成犯罪的重要因素之一。一般来说，滥伐林木“数量较大”，以十至二十立方米或者幼树五百至一千株为起点；滥伐林木“数量巨大”，以五十至一百立方米或者幼树二千五百至五千株为起点。但具体标准可能因地区而异，需参照当地的相关规定。
   • 砍伐树木的性质也是判断因素之一。如砍伐的是国家重点保护植物，即使数量不多，也可能构成犯罪。

建议：

• 如果您或他人有私自砍伐树木的行为，建议立即停止并主动向林业主管部门报告，接受处理。
• 如果您对砍伐树木的行为是否构成犯罪有疑问，或者需要了解具体的法律后果，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。

后续行动：

• 如果您面临因私自砍伐树木而引发的法律问题，如行政处罚或刑事指控，建议尽快委托专业律师进行辩护，以维护您的合法权益。
• 在日常生活中，应增强法律意识，遵守相关法律法规，避免因无知而触犯法律。