结论：您可以尝试与法院协商先支付5000元，剩余部分分期支付，但最终能否达成这样的协议，还需法院根据您的具体情况和对方的意见来决定。

分析说明：

1. 法律背景：

   • 抚养费是父母对未成年子女应尽的法定义务，不按时支付抚养费是违法行为。
   • 对于长期拖欠抚养费的情况，法院有权采取强制执行措施，包括但不限于冻结银行账户、查封财产、限制高消费等，甚至在情节严重的情况下，可以对拖欠者进行司法拘留。

2. 协商分期支付的可能性：

   • 在实际操作中，如果拖欠者确实存在经济困难，无法一次性支付全部拖欠的抚养费，可以向法院提出分期支付的申请。
   • 法院在考虑此类申请时，会综合评估拖欠者的经济状况、支付能力、以及分期支付对子女权益的影响等因素。
   • 如果法院认为分期支付是合理且可行的，且对方（通常是抚养费的接收方，如另一方父母或监护人）也同意，那么法院可能会批准分期支付的方案。

3. 您的具体情况：

   • 您提到已经拖欠了10年的抚养费，且被拘留了15天，这表明法院已经对您的拖欠行为采取了强制执行措施。
   • 在此情况下，您提出先支付5000元，剩余部分分期支付的方案，需要得到法院的批准和对方的同意。
   • 您应准备充分的证据来证明您的经济状况和支付能力，以及分期支付的具体计划和可行性。

4. 可能的法律后果：

   • 如果法院批准了您的分期支付方案，您应严格按照方案履行支付义务，否则可能会面临更严重的法律后果。
   • 如果法院或对方不同意您的分期支付方案，您可能需要考虑其他方式来筹集资金，以一次性支付全部拖欠的抚养费。

行动建议：

• 与法院沟通：尽快与负责您案件的法院联系，表达您愿意支付抚养费的意愿，并提出分期支付的申请。
• 准备证据：收集并整理您的经济状况、收入证明、支出明细等证据，以证明您的支付能力和分期支付的必要性。
• 与对方协商：尝试与抚养费的接收方进行沟通，解释您的困境和分期支付的计划，争取对方的理解和同意。
• 遵守法律义务：无论最终是否达成分期支付的协议，您都应遵守法律义务，按时支付抚养费，以维护子女的合法权益。

如果您在协商过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。