工作十年的老员工可请的病假天数，主要取决于其在本单位的工作年限，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，病假（医疗期）时长最长可达24个月，具体分析如下：
医疗期时长的确定：
- 如果该员工在本单位工作年限5年以下，那么其医疗期为6个月。
- 如果工作年限在5年以上10年以下，医疗期则延长至9个月。
- 如果工作年限在10年以上15年以下，医疗期为12个月。
- 如果工作年限在15年以上20年以下，医疗期进一步增加至18个月。
- 如果工作年限达到20年以上，医疗期则达到最长，为24个月。
医疗期的累计计算方式：
- 医疗期的累计计算方式也根据医疗期的长度有所不同。例如，医疗期为6个月的，按12个月内累计病休时间计算；医疗期为9个月的，按15个月内累计病休时间计算，以此类推，最长医疗期24个月的，按30个月内累计病休时间计算。
- 举例说明：如果员工的医疗期为6个月，且从3月1日开始休病假，那么在接下来的12个月（即至次年2月28日）内，若其累计病休时间达到6个月，则视为医疗期满。
特殊情况的考虑：
- 如果员工在24个月的医疗期满后仍不能痊愈，经企业和当地劳动部门批准，可以适当延长医疗期。
- 各单位可能会根据自身情况制定更为具体的病假政策，如为工龄较长的员工提供更长时间的带薪病假或在特定条件下获得额外的病假天数。
病假期间的工资支付：
- 病假工资不得低于当地最低工资标准的80%，具体比例由企业规章制度或劳动合同约定，常见为正常工资的60%-100%。
建议与指导：
- 对于具体的病假需求或疑问，建议首先咨询所在单位的人事部门或相关负责人，以获取最准确的信息。
- 了解自己的工龄、病情以及单位的相关规定，以便在需要时合理申请病假或医疗期。
- 如果遇到单位不按规定给予病假或医疗期待遇的情况，可以依法向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
总结来说，工作十年的老员工可请的病假天数并非固定不变，而是需要根据其在本单位的工作年限以及实际病情来综合确定。在实际操作中，应充分了解相关法律法规和单位规定，以确保自己的权益得到保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。