结论：工作11年的员工，其可请的病假天数（即医疗期）根据在本单位的工作年限不同而有所差异，若在本单位工作年限不满5年，医疗期为6个月；若满5年至10年，医疗期为9个月；若满10年至15年，医疗期为12个月。以下是对此问题的详细解答：
一、病假天数的法律依据
根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（劳部发〔1994〕479号）第三条的规定，员工可请的病假天数（医疗期）与其实际工作年限和在本单位的工作年限紧密相关。具体规定如下：
实际工作年限十年以下：
实际工作年限十年以上：
举例说明：若您工作11年，且在本单位工作年限为8年，则您的医疗期为9个月。
二、病假期间的工资支付标准
在病假期间，员工的工资支付标准也受到法律的保护。根据《关于贯彻执行〈中华人民共和国劳动法〉若干问题的意见》，病假工资不得低于当地最低工资标准的80%，具体比例由企业规章制度或劳动合同约定（常见为正常工资的60%-100%）。这意味着，即使您在病假期间，也能获得一定的经济保障。
三、其他关联法律规定
劳动合同解除限制：根据《劳动合同法》第四十二条的规定，在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同（除劳动者存在过错外）。这为您在病假期间提供了法律上的保护，确保您不会因病假而失去工作。
社保待遇衔接：医保政策通常允许病假期间正常享受报销待遇，但具体需参照地方规定。这意味着，在病假期间，您的医疗费用可能能够得到一定程度的报销，减轻您的经济负担。
四、实操建议
了解企业制度：建议您首先了解所在企业的病假管理制度，包括审批流程、证明材料要求等，以便在需要时能够顺利申请病假。
保留医疗证明：在申请病假时，务必提供医疗机构出具的病假证明，以证明您的病情和需要休息的时间。这有助于确保您的病假申请得到批准。
关注工资支付：在病假期间，关注您的工资支付情况，确保企业按照法律规定支付病假工资。如果发现企业未按规定支付，可以及时与企业沟通或寻求法律援助。
人文关怀与沟通：对于长期患病的员工，建议与企业进行积极沟通，协商调整岗位或提供辅助支持等，以更好地平衡工作与健康的关系。
如果您在病假申请、工资支付或劳动合同解除等方面遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。