结论：合同到期最后一天在已请年假的情况下，能否继续请病假需分情况讨论，主要取决于是否符合病假法定条件及单位规章制度规定。

1. 若符合病假法定条件且单位规章制度无特殊限制
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，可依法享受医疗期（即病假）。若您在合同到期最后一天突发疾病或原有疾病加重，且能提供医疗机构出具的病假证明（如诊断书、病假条等），则有权向单位申请病假。此时，单位不得以“合同到期”为由拒绝批准，但需注意：

   • 医疗期长度根据工龄和单位工作年限确定（如实际工作10年以下、本单位工作5年以下为3个月），若剩余医疗期未用完，可继续享受；
     
   • 单位可能要求您补交病假材料（如病历、缴费凭证等），需配合提供。

2. 若不符合病假法定条件或单位规章制度有特殊限制

   • 条件不符：若您无实际患病或无法提供有效病假证明，单位有权拒绝病假申请。此时若强行缺勤，可能被认定为旷工，单位可依据规章制度处理（如扣工资、解除合同等）。
     
   • 制度限制：部分单位规章制度可能规定“合同到期前X日不得请病假”或“病假需提前X日申请”，若此类规定不违反法律强制性规定（如不剥夺员工法定病假权），则需遵守。但若规定与法律冲突（如完全禁止合同到期前请病假），则该条款无效。

建议行动步骤：

1. 立即联系单位HR或直属领导，说明病情并提交病假证明；
   
2. 若单位拒绝，要求其出具书面拒绝理由，并核对单位规章制度是否合法；
   
3. 若单位以“合同到期”为由强制终止合同且未支付病假工资，可收集证据（如病假证明、沟通记录）申请劳动仲裁，主张违法解除赔偿金及病假工资。
   

风险提示：合同到期不自动终止劳动关系，若单位未提前30日通知不续签，需支付经济补偿金；若您处于医疗期内，单位不得终止合同，需顺延至医疗期满。如有争议，建议及时咨询以维护权益。