核心结论：若承兑到期出票方不支付利息，您可以通过协商、依据票据法主张权利、提起民事诉讼等途径来维护自身合法权益。以下是具体情况分析：
- 协商解决
- 首先，建议您尝试与出票方进行友好协商。在协商过程中，您可以明确指出根据双方之前的约定或者行业惯例，出票方在承兑到期时应当支付利息。以平和理性的态度与对方沟通，看是否能够达成一个双方都能接受的解决方案，比如出票方在一定期限内支付利息等。这种方式成本较低，也不会破坏双方的关系，如果能够解决是最好的结果。
- 依据票据法主张权利
- 根据我国《票据法》的相关规定，汇票的出票人必须与付款人具有真实的委托付款关系，并且具有支付汇票金额的可靠资金来源。如果出票方在承兑汇票时承诺了支付利息，那么这就构成了合同的一部分。
- 您需要收集相关证据，例如双方关于承兑汇票利息的书面约定（合同、协议等）、沟通记录（邮件、短信、聊天记录等）等，这些证据能够证明出票方有支付利息的义务。
- 然后，您可以向出票方发出书面催告函，明确要求其在一定期限内支付利息，并告知其如果不履行义务将承担的法律后果。
- 提起民事诉讼
- 如果协商和催告都没有效果，您可以考虑向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要向法院提交上述收集的证据，以证明出票方应当支付利息的事实。
- 法院会根据双方提供的证据和相关法律规定进行审理。如果法院认定出票方确实有支付利息的义务，那么会判决出票方支付相应的利息以及可能产生的逾期利息等。
- 需要注意的是，诉讼过程可能会比较漫长，并且需要支付一定的诉讼费用等成本。但是，如果您的利息金额较大，通过诉讼来维护自己的权益可能是比较有效的途径。
在整个过程中，如果您对法律程序和相关规定不太熟悉，我可以为您提供详细的指导和帮助，包括证据收集、法律文书撰写等方面。您在处理这个问题过程中有任何疑问，都可以随时向我咨询。