物业应首先明确要求业主停止在公共区域搭棚子养狗的行为，并视情况采取进一步措施，包括但不限于协商、发出整改通知、报告相关部门或提起诉讼。具体分析如下：

1. 物业的初步处理措施
   物业作为小区的管理者，有责任维护公共区域的秩序和环境。发现业主在公共区域搭棚子养狗后，物业应首先与业主进行沟通，明确告知其行为违反了小区的管理规定或相关法律法规，要求业主立即停止该行为，并拆除已搭建的棚子。

2. 发出书面整改通知
   如果口头沟通无果，物业应向业主发出书面的整改通知，明确整改期限和要求。整改通知应详细说明业主的行为违反了哪些规定，以及如果不整改将可能面临的法律后果。

3. 报告相关部门
   如果业主在收到整改通知后仍不整改，物业可以向当地的城管、房管或规划等部门报告，请求相关部门介入处理。这些部门有权对违法搭建行为进行查处，并可以采取强制拆除等措施。

4. 提起诉讼
   在极端情况下，如果业主的行为严重影响了小区的整体环境和其他业主的合法权益，且物业和相关部门均无法有效解决，物业可以考虑代表全体业主向法院提起诉讼，要求业主停止侵权行为并赔偿损失。

额外建议：

• 加强宣传教育：物业可以通过小区公告、业主群等方式，加强对小区管理规定的宣传教育，提高业主的法律意识和公共意识，减少类似行为的发生。
• 完善管理制度：物业应进一步完善小区的管理制度，明确公共区域的使用规定和禁止行为，为处理类似问题提供明确的依据。

在处理此类问题时，物业应保持冷静和理性，依法依规进行操作，避免与业主发生不必要的冲突。如果业主有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。