结论：短信威胁拘留放出来后又继续发威胁短信，是否构成寻衅滋事罪，需结合具体情节判断，但该行为确实存在构成寻衅滋事罪的可能性。
分析如下：
寻衅滋事罪的构成要件：
- 寻衅滋事罪，是指肆意挑衅，随意殴打、骚扰他人或任意损毁、占用公私财物，或者在公共场所起哄闹事，严重破坏社会秩序的行为。
- 该罪名的构成通常要求行为具有“随意性”和“破坏社会秩序”的严重性。即行为人的行为不是出于特定的、合理的目的，而是出于寻求刺激、发泄情绪、逞强耍横等动机，且对社会秩序造成了较为严重的破坏。
短信威胁行为的性质：
- 短信威胁，尤其是多次发送威胁短信，可能被视为一种骚扰行为，这种行为如果持续不断，且内容具有威胁性，足以使他人产生恐惧心理，那么它就可能对社会秩序造成破坏。
- 特别是当这种威胁行为与之前的拘留行为相关联，且放出来后继续实施，更可能显示出行为人的恶意和持续性，从而增加构成寻衅滋事罪的可能性。
具体情节的考量：
- 是否构成寻衅滋事罪，还需要考虑具体情节，如威胁的内容、频率、对象、影响范围等。
- 如果威胁内容严重，频率高，对象广泛，且对受害人的生活、工作造成了严重影响，那么构成寻衅滋事罪的可能性就较大。
- 反之，如果威胁内容相对轻微，频率低，且未对受害人造成实质性影响，那么可能不构成寻衅滋事罪，但可能构成其他违法行为，如治安管理处罚法中的威胁他人安全等。
法律后果：
- 如果构成寻衅滋事罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，行为人可能面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。
- 如果不构成犯罪，但违反了治安管理处罚法，行为人也可能面临行政拘留、罚款等行政处罚。
建议：
- 如果你或他人正面临此类威胁行为，建议立即向公安机关报案，并提供相关证据，如短信记录、通话记录等。
- 公安机关会根据具体情况进行调查，并根据调查结果依法处理。
- 在处理过程中，你可以寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。
进一步思考：
- 在处理此类案件时，除了考虑是否构成寻衅滋事罪外，还需要考虑行为人的动机、目的、行为方式等因素，以全面评估案件的性质和严重程度。
- 同时，也需要关注受害人的权益保护，确保受害人能够得到及时、有效的救助和赔偿。
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