结论：发短信恐吓威胁他人的行为是违法的，具体是派出所立案还是法院处理，取决于行为的性质和情节。一般来说，若行为构成治安案件，由派出所处理；若构成刑事犯罪，则由法院进行审判，但立案阶段仍由公安机关（包括派出所）负责。
详细分析：
一、治安案件层面
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，写恐吓信或者以其他方法威胁他人人身安全的行为，属于违法行为。公安机关有权对此类行为进行查处，并视情节轻重给予相应的治安处罚。
立案与处理：
- 若短信威胁恐吓行为符合上述条款规定，如多次发送恐吓信息干扰他人正常生活，或单发但严重威胁到他人人身安全，公安机关（包括派出所）会作为治安案件受理并调查。
- 受理后，公安机关将根据具体情节决定是否对行为人给予相应的治安处罚，如拘留或罚款。
二、刑事案件层面
可能涉及的罪名：
- 寻衅滋事罪：若短信威胁恐吓行为达到“情节恶劣”程度，如造成他人精神失常、自杀等严重后果，或严重影响他人工作、生活等，可能构成寻衅滋事罪。
- 敲诈勒索罪：若行为人通过短信威胁恐吓方式向他人索要财物，且数额较大或存在多次敲诈勒索情形，可能构成敲诈勒索罪。
立案与处理：
- 当短信恐吓行为构成刑事犯罪时，公安机关（包括派出所）将作为刑事案件立案侦查。
- 立案后，公安机关将依法进行调查取证，收集相关证据以证明犯罪事实。
- 若证据确凿，公安机关将移送检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。
三、实际应用与建议
保存证据：
- 若你或你身边的人正在遭遇短信恐吓威胁，建议立即保存相关证据，如短信记录、聊天记录等。这些证据将有助于公安机关进行调查取证。
及时报警：
- 尽快向当地公安机关（包括派出所）报案，说明情况并提交相关证据。公安机关将根据具体情况判断是否立案，并依法对行为人进行处理。
了解法律：
- 了解相关法律法规和司法解释，以便在必要时更好地维护自己的合法权益。例如，了解《中华人民共和国治安管理处罚法》和《中华人民共和国刑法》中关于恐吓威胁行为的规定。
总结：发短信恐吓威胁他人的行为是违法的，其法律后果可能涉及治安处罚或刑事责任。因此，我们应时刻保持警惕，避免触碰法律红线。同时，若遭遇此类行为，应及时保存证据并报警处理。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。