公交公司是否应该承担部分赔偿责任，需根据具体情况综合分析，主要取决于事故发生的具体原因、公交公司是否尽到安全保障义务以及乘客自身是否存在过错。以下从不同角度为您详细分析：
公交公司需承担赔偿责任的情形
违约责任：
- 公交公司与乘客之间存在客运合同关系，公交公司有义务将乘客安全、及时地送达目的地。若因公交公司的原因（如车辆急刹车、启动不稳、车内地面湿滑等）导致乘客摔伤，公交公司构成违约，需承担赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费等直接经济损失。
侵权责任：
- 一般侵权责任：若公交公司对摔伤存在过错（如驾驶时违反交通规则、操作不当、车内设施维护不善等），需承担侵权赔偿责任。例如，若因驾驶员操作失误导致车辆突然变道，乘客因此摔伤，公交公司需承担相应责任。
- 特殊侵权责任（无过错责任）：在特定情形下（如公交车与其他车辆碰撞），即使公交公司无过错，也可能需先对乘客承担赔偿责任，再向有过错的第三方追偿。这是基于公交公司对乘客的安全保障义务，确保乘客在乘车过程中不受伤害。
无法明确责任方：若因空间拥挤或其他原因无法明确摔伤责任方，公交公司可能需承担一定责任。例如，在高峰时段，车内乘客众多，若因拥挤导致乘客摔伤，且无法确定具体责任人，公交公司可能需承担部分赔偿责任。
公交公司不承担责任或减轻责任的情形
乘客自身原因：
- 若摔伤完全因乘客自身原因（如未站稳扶好、自身疾病突发、故意做出危险行为等）造成，公交公司不承担责任。例如，若乘客在车辆行驶过程中未扶好扶手，因自身疏忽导致摔伤，公交公司无需承担责任。
- 若乘客存在重大过失，公交公司的责任可能会相应减轻。例如，若乘客明知车辆即将启动或刹车，却故意不扶好扶手，导致摔伤，公交公司的责任可能会减轻。
第三人原因：
- 若摔伤由第三人造成（如被其他乘客推搡），责任应由第三人承担，公交公司不承担责任。但公交公司需确保车内秩序良好，采取必要措施防止类似事件发生。例如，若因其他乘客的推搡导致乘客摔伤，且公交公司已尽到安全管理义务，则责任应由推搡的乘客承担。
不可抗力：
- 若摔伤因不可抗力（如自然灾害、突发事件等不可预见、不可避免、不可克服的因素）导致，且公交公司已尽到合理的应急处置义务，公交公司可能不承担或减轻责任。例如，若因地震导致车辆颠簸，乘客因此摔伤，且公交公司已及时采取应急措施，则公交公司可能不承担责任。
赔偿范围与处理建议
- 赔偿范围：若公交公司需承担赔偿责任，赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。若乘客因摔伤致残，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费及康复护理等后续费用。
- 处理建议：
- 及时报警并就医，保留好相关证据和医疗费用清单。这是后续维权的重要依据。
- 与公交公司协商赔偿事宜，若协商不成，可通过法律途径解决争议，向人民法院提起人身损害赔偿诉讼。在诉讼过程中，需提供充分证据证明公交公司的过错或违约行为，以及自身因此遭受的损失。
综上所述，公交公司在公交车上摔伤事件中的责任承担需综合考虑多种因素。乘客在乘坐公交车时应遵守乘车规则，注意自身安全；公交公司也应加强安全管理，确保乘客安全出行。若您在此类事件中遇到法律问题，可直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。