公交公司是否应承担部分责任，需根据具体情况综合分析，以下是详细解答：
公交公司可能承担责任的情形
- 违约责任：公交公司与乘客之间存在客运合同关系，公交公司有义务将乘客安全、及时地送达目的地。若因公交公司的原因，如车辆急刹车、启动不稳、车内地面湿滑等，导致乘客摔伤，公交公司构成违约，需承担赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费等直接经济损失。
- 侵权责任：
- 一般侵权责任：若公交公司对摔伤存在过错，如驾驶时违反交通规则、操作不当、车内设施维护不善等，需承担侵权赔偿责任。
- 特殊侵权责任（无过错责任）：在特定情形下，如公交车与其他车辆碰撞，即使公交公司无过错，也可能需先对乘客承担赔偿责任，再向有过错的第三方追偿。
- 无法明确责任方：若因空间拥挤或其他原因无法明确摔伤责任方，公交公司可能需承担一定责任。
公交公司不承担责任或减轻责任的情形
- 乘客自身原因：若摔伤完全因乘客自身原因，如未站稳扶好、自身疾病突发、故意做出危险行为等造成，公交公司不承担责任。若乘客存在重大过失，公交公司的责任可能会相应减轻。
- 第三人原因：若摔伤由第三人造成，如被其他乘客推搡，责任应由第三人承担，公交公司不承担责任。但公交公司需确保车内秩序良好，采取必要措施防止类似事件发生。
- 不可抗力：若摔伤因不可抗力，如自然灾害、突发事件等不可预见、不可避免、不可克服的因素导致，且公交公司已尽到合理的应急处置义务，公交公司可能不承担或减轻责任。
赔偿范围与处理建议
- 赔偿范围：若公交公司需承担赔偿责任，赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。若乘客因摔伤致残，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费及康复护理等后续费用。
- 处理建议：
- 及时报警并就医，保留好相关证据和医疗费用清单。
- 与公交公司协商赔偿事宜，若协商不成，可通过法律途径解决争议，向人民法院提起人身损害赔偿诉讼。
总结与建议：公交公司在乘客摔伤事件中的责任承担需综合考虑多种因素。作为乘客，在乘坐公交车时应遵守乘车规则，注意自身安全，如站稳扶好，避免在车辆行驶过程中做出危险行为。若不幸发生摔伤事件，应及时保留证据，与公交公司协商赔偿事宜，必要时通过法律途径维护自身权益。作为公交公司，应加强安全管理，确保车辆设施完好，驾驶操作规范，为乘客提供安全、舒适的乘车环境。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。