结论前置：当劳动合同到期单位未续签但劳动者仍在继续工作时，双方形成了事实劳动关系。这种情况下，劳动者有权要求单位支付双倍工资、协商续签合同，并在单位违法解除劳动关系时获得赔偿；而单位则应及时续签合同，防范法律风险，并确保合法解除劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、事实劳动关系的认定
根据《劳动合同法》及相关司法解释，若劳动合同期满后劳动者继续在原岗位工作且用人单位未提出异议，双方即形成事实劳动关系。这种关系虽无书面合同，但仍受劳动法保护。例如，员工小李的合同于2023年1月1日到期，但继续在原岗位工作至3月，期间公司未表示反对，则小李与公司在此期间存在事实劳动关系。
二、劳动者的权利保障
要求支付双倍工资：
- 若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，劳动者有权要求用人单位每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于合同到期未续签的情况。
- 计算细节：双倍工资的起算时间为劳动合同期满的次日起，截止时间为补订书面劳动合同的前一日，或至用工之日起满一年的前一日（若满一年仍未补订，则视为已订立无固定期限劳动合同）。例如，合同于2023年5月31日期满，6月1日起未续签而继续工作，若8月15日补签，则双倍工资支付至8月14日。
协商续签合同：
- 劳动者应主动与用人单位沟通，提出续签劳动合同的请求，并明确工作岗位、工资待遇、工作时间等关键条款。在协商过程中，建议保留好沟通记录，以备不时之需。
经济补偿的适用情形：
- 若用人单位在合同到期未续签且继续用工后单方面解除劳动关系，劳动者有权根据具体情况要求经济补偿。若解除行为违法，劳动者可要求支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。
- 经济补偿的计算：按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、用人单位的义务与风险
及时续签合同：
- 用人单位应在劳动合同到期前与劳动者协商续签事宜，并在合同到期后及时办理续签手续，以避免法律风险和经济损失。
支付双倍工资的风险：
- 若用人单位未及时续签合同，且超过一个月不满一年，需从第二个月起支付双倍工资差额。例如，某公司因长期未与员工续签，被判决支付高额赔偿金。
合法解除劳动关系：
- 若用人单位需解除劳动关系，应确保解除行为合法，并按照法律规定支付经济补偿（如适用）。违法解除可能导致支付赔偿金的风险。
四、社会保险及公积金缴纳义务
- 用人单位在合同到期未续签但劳动者仍在职期间，仍有义务按照法律规定为劳动者缴纳社会保险和住房公积金，基数和比例依据当地规定及原合同约定执行。
五、处理建议
对劳动者：
- 确认事实劳动关系的存在，并保留好相关证据（如考勤记录、工资条等）。
- 有权要求用人单位支付未续签期间的双倍工资差额，并可协商签订新合同。
- 若无法达成一致，可选择解除劳动关系并要求经济补偿。
对用人单位：
- 建立合同到期预警机制，及时办理续签手续。
- 若需解除劳动关系，应确保解除行为合法，并按照法律规定支付经济补偿（如适用）。
综上所述，合同到期不续签但仍在职的情况涉及多方面的法律权益和责任。作为劳动者或用人单位，都应充分了解相关法律规定，并依法处理此类问题，以保障各自的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。