关于无固定期限劳动合同辞退时的赔偿金问题，这确实是一个需要细致分析的情况。核心结论如下：
- 合法辞退：若用人单位合法辞退无固定期限劳动合同的员工，通常无需支付赔偿金，但可能需根据工作年限支付经济补偿金。
- 违法辞退：若用人单位违法辞退，则需按照经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
一、合法辞退的经济补偿金
支付条件：
- 员工存在严重违反规章制度、失职给单位造成重大损害等过错性情形，或符合经济性裁员等法定情形时，用人单位可以合法辞退员工。
计算标准：
- 经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若劳动者月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，且补偿年限最高不超过十二年。
- 月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或三倍月工资，若月工资高于地区平均工资三倍）
二、违法辞退的赔偿金
支付条件：
- 若员工不存在法定的可辞退情形，用人单位却随意解除劳动合同，即构成违法辞退。
计算方式：
- 赔偿金为经济补偿标准的两倍，即按照上述合法辞退的经济补偿金计算方法得出的金额再乘以2。
计算公式：
- 赔偿金 = 2 × 经济补偿金 = 2 × (工作年限 × 月工资)（或三倍月工资，若月工资高于地区平均工资三倍）
三、特殊情形的处理
- 优先留用权：
- 连续工作满十年并签订无固定期限合同的员工，在经济性裁员时享有优先留用权。若被优先裁减，有权要求2N的赔偿金（N为按工作年限计算的经济补偿金月数）。
- 特殊保护员工：
- 孕期、产期、哺乳期的女职工及患职业病或因工负伤并丧失或部分丧失劳动能力的员工，原则上不得辞退。若被违法辞退，同样需支付双倍经济补偿金作为赔偿金。
四、实际案例与说明
假设某员工在公司工作了8年，月工资为10000元，且公司所在地区上年度职工月平均工资未超过10000元的三分之一。若公司合法辞退该员工，则需支付的经济补偿金为：8年 × 10000元/年 = 80000元。若公司违法辞退该员工，则需支付的赔偿金为：2 × 80000元 = 160000元。
五、注意事项与建议
- 确保数据准确性：
- 在计算经济补偿金或赔偿金时，应准确核实工作年限和月工资，以避免计算错误。
- 程序合法性：
- 用人单位在辞退员工时，需遵循法定程序，如提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除合同，以及通知工会并听取其意见等。
- 权益维护：
- 若员工对补偿金额有异议，可通过劳动仲裁机构申请仲裁或提起诉讼来维护自身权益。在此过程中，建议保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等。
综上所述，无固定期限劳动合同被辞退的赔偿金问题涉及多个方面，包括辞退的合法性、工作年限、工资水平以及是否存在特殊情形等。因此，在处理此类问题时，建议根据具体情况进行细致分析，并咨询专业律师以获取准确指导。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。