结论：在两人发生争执，一方先动手且警察已经立案的情况下，处理方式会因具体情况而异，但通常包括调解、行政处罚或刑事追究等程序。以下是对此问题的详细分析：

一、警察立案后的处理流程

1. 调查取证：

   • 警察会首先进行调查取证，包括询问双方当事人、目击者，收集现场证据（如监控录像、伤痕照片等），以还原事件经过。

2. 调解处理：

   • 如果争执情节较轻，且双方愿意和解，警察可能会组织调解。调解成功后，双方可以签订调解协议，案件可能就此了结。

3. 行政处罚：

   • 如果调解不成，或者争执情节较重，警察可能会根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对先动手的一方进行行政处罚，如罚款、拘留等。

4. 刑事追究：

   • 如果争执过程中造成了严重后果，如轻伤、重伤甚至死亡，那么案件可能构成刑事犯罪。此时，警察会将案件移送至检察机关，由检察机关决定是否提起公诉。如果提起公诉，先动手的一方将面临刑事审判和可能的刑罚。

二、先动手一方的法律责任

1. 民事责任：

   • 无论争执结果如何，先动手的一方都可能因侵犯对方的人格权（如身体权、健康权）而承担民事责任。这包括赔偿对方因争执而产生的医疗费用、误工费用等经济损失。

2. 行政责任：

   • 如前所述，如果争执情节较重，先动手的一方可能面临行政处罚，如罚款、拘留等。

3. 刑事责任：

   • 如果争执过程中造成了严重后果，先动手的一方可能构成故意伤害罪、寻衅滋事罪等刑事犯罪，将面临刑事审判和可能的刑罚。

三、应对建议

1. 保持冷静：

   • 在争执发生时，双方都应尽量保持冷静，避免情绪失控导致事态升级。

2. 及时报警：

   • 如果争执无法自行解决，应及时报警，让警察介入处理。

3. 配合调查：

   • 在警察调查取证时，双方都应积极配合，如实陈述事件经过，提供相关证据。

4. 寻求法律帮助：

   • 如果对警察的处理结果有异议，或者担心自己可能承担法律责任，可以及时向我这样的专业律师咨询，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。

四、特殊情况考虑

• 自卫情况：如果一方是在自卫的情况下动手，且自卫行为未超出必要限度，那么该方可能不承担法律责任。但自卫的认定需要严格依据法律规定和事实情况，建议在此情况下及时咨询专业律师。

• 未成年人或精神病人：如果争执双方涉及未成年人或精神病人，那么处理方式可能会有所不同。例如，对未成年人的处罚可能会考虑其年龄和认知能力；对精神病人的处罚则可能会考虑其精神状态和责任能力。

总之，在两人发生争执且一方先动手的情况下，处理方式会因具体情况而异。建议双方都保持冷静，积极配合警察的调查处理，并在必要时寻求专业律师的法律帮助。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。