结论：物业是否应当对赠送的但未进行产权登记的半封闭阳台受到的损害承担责任，需根据具体情况判断，主要看物业是否尽到了管理职责以及损害发生的原因。
分析如下：
物业的管理职责：
- 物业作为小区的管理者，对小区内的公共设施和共有部分负有管理、维护的职责。这包括小区的公共区域、绿化、道路、电梯等，以及可能影响业主正常生活的其他设施。
- 对于赠送的半封闭阳台，如果它属于小区的共有部分或者物业在管理合同中明确约定了对其的管理职责，那么物业就有义务对其进行合理的维护和管理，防止其受到损害。
损害发生的原因：
- 如果阳台的损害是由于物业的疏忽或管理不善导致的，比如未及时维修、未采取必要的安全措施等，那么物业应当承担相应的责任。
- 如果阳台的损害是由于第三方的原因（如邻居的过失、自然灾害等）或者业主自身的原因（如不当使用、改造等）导致的，那么物业可能不承担责任，除非物业在管理上存在明显的疏忽或过错。
产权登记的影响：
- 虽然阳台未进行产权登记，但这并不影响物业对其的管理职责（如果它属于物业的管理范围）。产权登记主要影响的是业主对阳台的所有权和使用权，而不是物业的管理责任。
- 如果阳台的损害与产权登记无关，比如是由于物业的维护不当导致的，那么物业仍然需要承担责任。
建议：
- 如果您认为物业对阳台的损害负有责任，可以先与物业进行沟通，要求其进行维修或赔偿。
- 如果物业拒绝承担责任，您可以收集相关证据（如照片、视频、证人证言等），并向当地的房地产管理部门或相关机构投诉，或者通过法律途径解决纠纷。
- 在处理此类纠纷时，建议您咨询专业的法律人士，以便更好地了解自己的权益和义务，以及如何有效地维护自己的权益。
额外思考：
- 在实际操作中，阳台的产权归属和管理责任可能因小区的具体情况、物业合同的内容以及相关法律法规的规定而有所不同。因此，在处理此类纠纷时，需要具体问题具体分析。
- 如果阳台的损害涉及到安全问题，比如阳台的坍塌或坠落等，那么除了物业的责任外，还可能涉及到其他相关方的责任（如开发商、施工单位等）。在这种情况下，建议您及时报警并寻求专业的法律帮助。