供应商行贿客户员工，供应商确实需要承担相应的法律责任，同时客户员工也可能面临法律责任，而客户公司是否担责需视具体情况而定。以下从不同角度进行详细分析：
供应商的法律责任
行政责任：
- 根据《中华人民共和国反不正当竞争法》等相关法律法规，供应商行贿客户员工的行为可能构成不正当竞争，会面临工商行政管理部门的行政处罚，如罚款、没收违法所得等。
刑事责任：
- 如果供应商的行贿行为情节严重，可能构成行贿罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对犯行贿罪的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；因行贿谋取不正当利益，情节严重的，或者使国家利益遭受重大损失的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，或者使国家利益遭受特别重大损失的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
客户员工的法律责任
行政责任：
- 客户员工如果接受供应商的行贿，可能违反公司的规章制度，面临公司的内部处罚，如警告、罚款、解雇等。
刑事责任：
- 客户员工如果利用职务上的便利，非法收受供应商的财物，为供应商谋取利益，且数额较大，可能构成非国家工作人员受贿罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对犯此罪的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金。
客户公司的法律责任
一般情况下不直接担责：
- 客户公司本身通常不会因为供应商行贿其员工而直接承担法律责任，除非客户公司本身参与了行贿行为或者对员工的受贿行为存在过错（如明知员工受贿而放任不管等）。
特殊情况下的责任：
- 如果客户公司因为员工的受贿行为而遭受了损失，客户公司有权向受贿员工追偿。同时，如果客户公司能够证明供应商的行贿行为对其造成了损害，客户公司也可以考虑通过法律途径向供应商主张赔偿。
实际建议
- 供应商：应严格遵守法律法规，避免任何形式的行贿行为，以维护公平竞争的市场环境。
- 客户员工：应坚守职业道德和法律法规，拒绝任何形式的贿赂，以免触犯法律并损害个人声誉和职业生涯。
- 客户公司：应建立健全内部管理制度，加强对员工的监督和教育，防止员工受贿行为的发生。同时，一旦发现员工受贿，应立即采取措施予以处理，并考虑向相关部门报案。
在实际操作中，如果涉及具体的法律纠纷或案件，建议及时咨询专业律师以获取更详细的法律意见和帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。