结论：公司带班驾车接员工发生事故，员工应向谁索赔需根据具体情况判断，主要涉及向公司索赔和向第三方侵权人索赔两种情况。
一、向公司索赔
工伤认定与赔偿：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。在此情况下，如果公司带班驾车接员工发生事故，且员工无责任或负次要责任，那么员工有权申请工伤认定，并享受工伤保险待遇。
- 工伤保险待遇包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通食宿费、护理费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果员工因事故导致伤残或死亡，还可以享受一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金或工亡补助金等。
公司责任：
- 如果公司未为员工缴纳工伤保险费，那么根据《工伤保险条例》第六十二条的规定，公司应按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
- 此外，如果公司带班驾车存在过错（如超速、酒驾等），导致事故发生，公司还可能面临行政处罚或民事赔偿责任。
二、向第三方侵权人索赔
交通事故责任认定：
- 如果事故是由第三方（如其他车辆、行人等）造成的，那么首先需要根据交通事故责任认定书确定责任比例。
- 如果第三方被认定为全责或主要责任，那么员工有权向第三方索赔。
索赔内容：
- 员工可以向第三方索赔因事故导致的医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等直接损失。
- 如果员工因事故导致伤残或死亡，还可以索赔残疾赔偿金、死亡赔偿金、被扶养人生活费等间接损失。
三、综合索赔策略
同时申请工伤认定和交通事故责任认定：
- 员工在发生事故后，应尽快向公司报告，并同时向当地社会保险行政部门申请工伤认定，向公安机关交通管理部门申请交通事故责任认定。
根据责任认定结果选择索赔对象：
- 如果工伤认定和交通事故责任认定结果均有利于员工，员工可以根据实际情况选择向公司或第三方索赔，或者同时向两者索赔（但需注意避免重复索赔）。
- 如果工伤认定结果不利于员工（如员工被认定为负主要责任），但交通事故责任认定结果有利于员工，员工可以向第三方索赔。
寻求法律援助：
- 在处理此类复杂案件时，员工可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。
四、注意事项
- 员工在索赔过程中应保留好相关证据（如医疗记录、交通事故责任认定书、工伤认定决定书等），以便在需要时提供证明。
- 员工应了解自己的权益和索赔流程，避免因不了解法律而错过索赔时机或降低索赔金额。
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