私自送养不一定构成遗弃罪，其是否构成遗弃罪需根据具体情况进行细致分析，并需综合考虑多个法律因素。以下是对此问题的全面分析：

一、遗弃罪的定义与构成要件

遗弃罪是指负有扶养义务的人，对年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的人拒绝扶养，情节恶劣的行为。其构成要件主要包括：

1. 负有扶养义务：这通常指的是基于法律、道德或家庭关系而产生的抚养、赡养或扶助义务。
2. 拒绝扶养：即行为人故意不履行其应尽的扶养义务。
3. 情节恶劣：这是指行为人的拒绝扶养行为导致了严重的后果，如被扶养人生活无着、流离失所、生命健康受到严重威胁等。

二、私自送养不构成遗弃罪的情形

1. 出于善意目的：如果送养人因经济困难、无力抚养等客观原因，出于让孩子获得更好生活环境的善意目的，在与收养方充分沟通并确保孩子得到妥善照顾的情况下私自送养，且没有逃避抚养义务的主观故意，也未导致子女身心健康受到严重损害，那么这种行为通常不构成遗弃罪。
2. 遵循合法程序：虽然私自送养可能未直接通过官方渠道办理收养手续，但如果送养人和收养人之间已经达成了实质性的收养协议，并且收养人具备抚养能力和条件，能够确保孩子得到妥善照顾，且送养行为未违反相关法律法规的强制性规定，那么这种行为也不太可能构成遗弃罪。不过，从法律严谨性的角度来看，建议送养行为应通过民政部门进行登记，以确保收养关系的合法性和有效性。

三、私自送养可能构成遗弃罪的情形

1. 逃避抚养义务：如果送养人为了逃避抚养义务而私自送养，明知收养方没有抚养能力或可能对孩子造成伤害，仍进行送养，且送养行为导致孩子生活无着、流离失所或生命、健康面临严重威胁，那么这种行为可能构成遗弃罪。
2. 情节恶劣：除了上述逃避抚养义务的情况外，如果送养行为本身具有恶劣情节，如长期忽视、虐待被扶养人等，也可能构成遗弃罪。

四、私自送养的法律后果与建议

1. 法律后果：私自送养可能违反《中华人民共和国民法典》中关于收养的程序性规定，如未经父母双方同意、未办理收养登记等。由此导致的收养关系可能不具有法律效力，收养人与被收养人之间的权利义务关系不受法律保护。此外，如果私自送养过程中收取钱财，还可能构成拐卖妇女、儿童罪等刑事犯罪。如果送养行为导致严重后果，如孩子死亡、重伤等，送养人可能面临更严重的刑事责任。
2. 建议：在处理私自送养问题时，应综合考虑送养人的动机、行为后果以及是否符合收养法律规定。对于出于善意、确保孩子得到妥善照顾的私自送养行为，虽不构成遗弃罪，但仍需引导其遵守收养程序规定，以确保收养关系的合法性。而对于恶意逃避抚养义务、导致孩子受伤害的私自送养行为，应依法追究其法律责任，保护孩子的合法权益。

总结来说，私自送养是否构成遗弃罪需根据具体情况判断。如果你面临相关问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。