劳务伤害的责任部门主要取决于伤害的性质及是否构成工伤，具体分析如下：

1. 若构成工伤：

   • 工伤认定部门：人力资源和社会保障部门（通常是各地的人力资源和社会保障局）。这是确定职工能否享受工伤待遇的首要环节。用人单位应在职工发生事故伤害或被诊断、鉴定为职业病后的30日内，向该部门提出工伤认定申请。若用人单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向该部门提出申请。
   • 劳动能力鉴定部门：设区的市级劳动能力鉴定委员会负责本辖区内的初次鉴定和复查鉴定；省、自治区、直辖市劳动能力鉴定委员会负责再次鉴定。在职工经治疗伤情相对稳定后，若存在残疾、影响劳动能力的情况，需向劳动能力鉴定委员会提出鉴定申请，以确定伤残等级，为后续赔付提供依据。
   • 工伤保险待遇支付部门：社会保险经办机构（一般是各地的社保中心）。在工伤认定及劳动能力鉴定完成后，若用人单位依法缴纳了工伤保险，社会保险经办机构将按照规定支付各项工伤保险待遇，如医疗费、一次性伤残补助金等。

2. 若不构成工伤，但属于劳务关系中的伤害：

   • 责任主体：通常为提供劳务一方与接受劳务一方。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。这种情况下，伤害的处理可能更多地依赖于双方之间的协商、调解或诉讼，而非特定的政府部门。
   • 处理途径：若双方无法就赔偿事宜达成一致，可以寻求人民调解委员会等调解组织的帮助进行调解；调解不成的，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据事实和法律规定作出裁决。

特殊情况说明：

• 若职工未交保险却发生工伤，即使用人单位未缴纳工伤保险，职工仍可享受工伤待遇，但相应费用需由用人单位承担。
• 若用人单位拒绝支付工伤待遇或劳务伤害赔偿，职工或提供劳务一方可通过劳动争议仲裁（若构成工伤）、诉讼等法律途径维护自身合法权益。

建议：

• 在发生劳务伤害后，首先应确定伤害是否构成工伤，这直接关系到后续的处理流程和责任部门。
• 若构成工伤，应及时向人力资源和社会保障部门提出工伤认定申请，并按照规定流程进行劳动能力鉴定和工伤保险待遇支付。
• 若不构成工伤，但属于劳务关系中的伤害，应与对方协商赔偿事宜，协商不成的可寻求调解或诉讼解决。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。