在离婚案件中，若当事人增加诉讼请求要求分割财产但未补缴诉讼费，法院通常会按以下方式处理：
法院会向当事人发出补缴通知：根据《诉讼费用交纳办法》第二十一条规定，当事人在诉讼中增加诉讼请求数额的，应当按照增加后的诉讼请求数额计算补交案件受理费。因此，若当事人在离婚案件中增加财产分割请求，法院会向其发出补缴诉讼费的通知，明确告知其需在规定期限内补缴相应费用。
若当事人未在规定期限内补缴，法院可能按撤诉处理：根据《最高人民法院关于适用〈诉讼费用交纳办法〉的通知》第二条，若当事人逾期不按照《诉讼费用交纳办法》第二十条规定交纳案件受理费或者申请费，并且没有提出司法救助申请，或者申请司法救助未获批准，在人民法院指定期限内仍未交纳案件受理费或者申请费的，由人民法院依法按照当事人自动撤诉或者撤回申请处理。因此，若当事人未在法院规定的期限内补缴诉讼费，法院可能会对其增加的财产分割请求按撤诉处理，即该部分请求将不被法院审理。
法院也可能继续审理原离婚请求，对新增财产分割请求另案处理：若当事人未补缴诉讼费，但原离婚请求已涉及部分财产分割或法院认为有必要对新增财产分割请求进行审理的，法院可能会选择继续审理原离婚请求，并对新增的财产分割请求告知当事人可另案起诉。这种情况下，当事人需就新增的财产分割请求另行提起诉讼，并缴纳相应的诉讼费。
实际案例参考：
案例一：在某离婚案件中，原告在诉讼过程中增加了对一处房产的分割请求，但未在法院规定的期限内补缴相应的诉讼费。法院最终对其增加的房产分割请求按撤诉处理，仅就原离婚请求及已缴纳诉讼费的部分财产进行了分割。
案例二：在另一离婚案件中，被告在答辩过程中提出了对原告名下股票的分割请求，但同样未补缴诉讼费。法院在审理过程中认为，该股票分割请求与原离婚请求紧密相关，且涉及当事人重大财产权益，因此未直接按撤诉处理，而是告知被告可就股票分割请求另案起诉，并在原判决中对此进行了说明。
建议：
及时补缴诉讼费：若当事人在离婚案件中增加了财产分割请求，应及时关注法院发出的补缴通知，并在规定期限内补缴诉讼费，以确保其请求能够得到法院的审理。
咨询专业律师：在处理离婚案件及财产分割问题时，建议咨询专业律师，以了解相关法律规定及诉讼程序，确保自身权益得到充分保障。
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