当公司法定代表人死亡后，确定诉讼代表人确实是一个涉及法律法规、公司章程及实际情况的复杂过程。以下是对此问题的详细解答：
一、已选出新法定代表人的情况
如果公司已经依照法律或公司章程的规定，选出了新的法定代表人，并且已经完成了相关的变更登记手续，那么新的法定代表人自然就是公司的诉讼代表人，有权代表公司进行各类诉讼活动。
二、未选出新法定代表人的情况
在未选出新法定代表人的情况下，诉讼代表人的确定需要遵循以下规则和步骤：
查阅公司章程：
- 首先，应仔细查阅公司章程，看是否有关于诉讼代表人确定的特别规定。例如，公司章程可能规定由副董事长、执行董事或其他高级管理人员担任诉讼代表人。
确定正职或副职负责人：
- 如果公司章程没有特别规定，根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，可以由主持工作的正职负责人参加诉讼。
- 如果没有正职负责人，则由副职负责人参加诉讼。
协商推选：
- 若公司章程无规定，且无法确定正职或副职负责人，公司的股东、董事、监事等相关人员可以协商推选一名熟悉公司运营、能代表公司意志的人员作为诉讼代表人。
公司权力机构决定：
- 如果存在多名股东或其他高级管理人员，且无法通过协商达成一致，那么可以由公司的权力机构（如股东会、董事会等）决定诉讼代表人。
法院特殊指定：
- 如果公司内部无法协商一致，且公司权力机构也无法作出决定，法院在审理案件过程中，会按照一定的指定顺序（如副董事长→执行董事→其他负有职责的高级管理人员）来指定诉讼代表人。
唯一股东的情况：
- 如果公司法定代表人同时为公司股东，且其死亡后公司只剩余一名股东，那么该股东即为公司当然的诉讼代表人。
三、其他相关注意事项
法定代表人变更未登记的影响：
- 即使法定代表人已经变更，但尚未完成登记手续，其仍然有权代表公司参加诉讼。不过，为了避免不必要的纠纷，建议尽快完成变更登记。
原、被告法定代表人同一人的情况：
- 如果原、被告公司的法定代表人系同一人，且该法定代表人已经死亡，法院会要求双方公司决定是否由该法定代表人的继承人或其他人行使诉讼代表权。
诉讼行为的效力：
- 法定代表人所为的诉讼行为是职务行为，其法律效力不受法定代表人死亡的影响。因此，即使法定代表人死亡，其之前所为的诉讼行为仍然有效。
委托代理手续的更新：
- 法定代表人死亡后，如果公司需要委托律师或其他代理人进行诉讼，应提供新的法定代表人或诉讼代表人的身份证明书，并更新相关的委托代理手续。
举证期限的延长：
- 对于没有委托代理人的公司，法庭可以根据申请适当延长举证期限，以确保公司有足够的时间准备和提交证据。
法律文书的表述：
- 在法律文书中，应客观反映诉讼参加人的基本情况。如果法定代表人已经死亡，应写明公司诉讼代表人的情况，包括其姓名、职务和联系方式等。
四、建议
由于确定诉讼代表人涉及复杂的法律问题和公司内部决策程序，建议公司在遇到此类情况时及时咨询专业律师。律师可以根据公司的具体情况和法律法规的规定，为公司提供准确、详细的法律建议和指导，确保诉讼的顺利进行。