结论：签了劳动合同后，能否向单位请不带薪假，这主要取决于劳动合同中的约定、单位规章制度以及相关法律法规的规定。以下从多个角度进行详细分析：
劳动合同中的约定：
- 劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。如果劳动合同中明确规定了不带薪假的条款，比如事假、病假（无薪病假）等，且这些条款不违反法律法规的强制性规定，那么劳动者在符合条件的情况下是可以请不带薪假的。
- 示例：若劳动合同中约定，劳动者每年可享有5天无薪事假，用于处理个人事务，那么劳动者在需要时即可依据此条款申请不带薪假。
单位规章制度：
- 除了劳动合同外，用人单位的规章制度也是确定劳动者权利义务的重要依据。如果单位规章制度中明确规定了不带薪假的申请条件、流程以及期限等，且这些规定已经向劳动者公示或告知，那么劳动者在遵守这些规定的前提下，也是可以请不带薪假的。
- 注意：单位规章制度必须合法合规，不得侵犯劳动者的合法权益。如果规章制度中的不带薪假规定与法律法规相抵触，那么该规定是无效的。
相关法律法规的规定：
- 在某些特殊情况下，法律法规可能直接规定了劳动者可以请不带薪假的情形。比如，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，劳动者在医疗期内享有病假工资或疾病救济费，但在某些情况下（如医疗期满后仍不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作的），用人单位可能不再支付工资，此时可视为一种不带薪假的情形（但需注意，这并非劳动者主动申请的不带薪假，而是基于法律法规的规定）。
- 另外，对于女职工的产假、男职工的陪产假等，虽然这些假期通常是有薪的，但在某些特殊情况下（如未参加生育保险或生育保险待遇不足等），可能涉及不带薪或部分带薪的问题，但这需要具体根据法律法规和单位规章制度来确定。
特殊情况下的不带薪假：
- 除了上述情形外，还有一些特殊情况下的不带薪假，如劳动者因个人原因（如家庭突发状况、个人发展等）需要长时间离职，且与用人单位协商一致后，可以请不带薪长假。但这种情况需要双方签订书面协议，明确假期的期限、待遇以及假期结束后的工作安排等事项。
建议：
- 在申请不带薪假前，劳动者应仔细阅读劳动合同和单位规章制度，了解不带薪假的申请条件、流程以及期限等规定。
- 如果劳动合同或单位规章制度中没有明确规定不带薪假的相关事项，或者劳动者对相关规定有疑问，建议及时与用人单位沟通协商，以达成一致意见。
- 在申请不带薪假时，劳动者应按照单位的要求提交相关证明材料（如病假证明、事假申请等），并遵守单位的请假流程。
法律后果：
- 如果劳动者未经用人单位同意擅自离岗或不按照单位规定申请不带薪假，可能构成旷工或违反单位规章制度的行为，用人单位有权依据相关规定对劳动者进行处理（如警告、罚款、解除劳动合同等）。
- 如果用人单位拒绝劳动者合理的不带薪假申请或违反法律法规的规定侵犯劳动者的合法权益，劳动者有权向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁以维护自己的权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。