结论：未成年私自租房且家长不知情，在签完合同付完钱但一天未住的情况下，能否退钱需视具体情况而定，主要取决于未成年人的年龄、合同效力以及房东的态度。
分析：
未成年人年龄与合同效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，实施民事法律行为由其法定代理人代理或者经其法定代理人同意、追认；但是，可以独立实施纯获利益的民事法律行为或者与其年龄、智力相适应的民事法律行为。
- 如果未成年人未满八周岁，则属于无民事行为能力人，其签订的合同原则上无效。在此情况下，家长作为法定代理人有权要求房东退还已支付的款项。
- 如果未成年人已满八周岁但未满十八周岁，且签订的租赁合同明显超出其年龄、智力所能理解的范围，那么该合同可能因未经法定代理人同意或追认而无效。家长同样有权要求房东退还已支付的款项。
- 如果未成年人已满十六周岁，且以自己的劳动收入为主要生活来源，视为完全民事行为能力人，其签订的合同有效。但在此案例中，由于家长不知情，且未成年人一天未住，家长仍可尝试与房东协商退款事宜。
合同内容与退款可能性：
- 即使合同有效，如果合同中明确规定了未入住可退款或类似条款，那么家长有权依据合同条款要求房东退款。
- 如果合同中没有明确规定，家长可以尝试与房东协商，说明情况并请求退款。房东可能会基于人情或避免纠纷的考虑而同意退款。
房东的态度与协商：
- 房东的态度对于退款事宜至关重要。如果房东同意退款，那么问题将得到圆满解决。
- 如果房东拒绝退款，家长可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁。但在此之前，建议家长先收集相关证据，如合同、支付凭证、未成年人年龄证明等，以支持自己的主张。
建议：
- 家长应首先与房东进行友好协商，说明情况并请求退款。在协商过程中，保持冷静和理性，避免情绪化行为。
- 如果协商无果，家长可以考虑咨询专业律师（即我，曾新律师，专注于合同纠纷领域），了解自己的法律权益和可能的维权途径。
- 在处理此类纠纷时，家长应注意保留相关证据，以便在需要时提供证明。
后续行动：
- 如果家长决定通过法律途径解决纠纷，应尽快准备相关证据和材料，并向法院提起诉讼或申请仲裁。
- 在诉讼或仲裁过程中，家长应积极配合律师的工作，提供必要的协助和支持。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。