结论：打人后造成轻微伤，公安机关是有可能会立案的，并且行为人可能会面临拘留和罚款的处罚。具体是否立案以及处罚的轻重，由公安机关根据案件的具体情况来决定。
法律依据与详细分析
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条的规定，殴打他人或故意伤害他人身体的行为，是受到法律明确禁止的，并会给予相应的治安处罚。这一规定直接关联到您所询问的打人后轻微伤的情况。
公安机关立案与处罚的具体情况
一般情形：
- 只要存在证据证明有殴打他人或故意伤害他人身体并致轻微伤的行为，公安机关就有权依据法律规定对行为人进行立案调查，并可能采取拘留和罚款的处罚措施。例如，在街头因口角引发的肢体冲突中，如果一方受到轻微伤，公安机关在调查清楚事实后，通常会对打人者采取相应的处罚措施。
特殊情形与加重处罚：
- 若打人行为存在以下严重情形之一，公安机关将依法给予更重的处罚，包括十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：
- 结伙殴打、伤害他人的；
- 殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；
- 多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。
公安机关的裁量权与实际执行
- 裁量权：公安机关在决定是否立案以及处罚的轻重时，会综合考虑案件的实际情况、行为人的主观恶性、受害人的伤情程度以及社会影响等因素。因此，即使伤情相同，不同案件的处理结果也可能存在差异。
- 实际执行：如果情节特别轻微，且双方当事人能够达成和解，公安机关可以不予处罚或从轻处罚。但这也需要行为人积极承认错误、赔偿损失并取得受害人的谅解。如果双方无法达成和解，案件将进入司法程序，按照相应流程进行处理和判决。
法律建议与道德提醒
- 法律建议：无论是否会被拘留或罚款，打人都是违法的行为。我建议您在遇到争端或冲突时，保持冷静和理性，通过和平、合法的方式解决问题。如果确实无法避免冲突，也请尽量控制自己的行为，避免造成不必要的伤害。
- 道德提醒：尊重他人的生命和尊严是每个人的基本道德准则。我们应该以友善、宽容的态度对待他人，共同维护社会的和谐与稳定。
如果您或您身边的人遇到了类似的问题，或者有任何其他法律疑问，都可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业、全面的法律建议。