结论：家长在孩子因沉迷游戏拒绝完成义务教育且管不了的情况下，一般不直接承担法律责任，但有法定教育义务未履行可能面临教育行政部门的责令改正等措施；若因家长放任导致孩子出现严重不良后果，家长可能需承担民事赔偿责任；极端情况下，若家长行为构成犯罪，还需承担刑事责任。以下从不同角度详细分析：
一、家长的教育义务与法律责任基础
根据《中华人民共和国义务教育法》的相关规定，父母或者其他法定监护人必须使适龄的子女或者被监护人按时入学，接受规定年限的义务教育。这是家长对子女教育的基本法律义务。如果家长放任孩子沉迷游戏而拒绝完成义务教育，首先违反的是这一基本教育义务。
二、家长可能面临的具体法律责任
教育行政部门的责令改正：
- 教育行政部门有权对违反义务教育法的行为进行查处。如果家长未履行送子女入学的义务，教育行政部门会责令其改正，并可能采取其他措施，如批评教育、公示等，以确保孩子能够接受义务教育。
民事赔偿责任：
- 如果因家长放任孩子沉迷游戏而拒绝完成义务教育，导致孩子出现严重不良后果（如辍学后走上违法犯罪道路等），家长可能需承担一定的民事赔偿责任。这通常是在孩子或第三方因此遭受损失时，法院根据具体情况判决家长承担相应的赔偿责任。
刑事责任（极端情况）：
- 在极端情况下，如果家长的行为构成犯罪（如虐待、遗弃等），则需承担刑事责任。但这种情况较为罕见，且需要满足特定的犯罪构成要件。
三、家长应如何履行教育义务
积极引导与监督：
- 家长应积极引导孩子正确使用网络，避免沉迷游戏。同时，要监督孩子的学习情况，确保孩子按时完成学业。
与学校合作：
- 家长应与学校保持密切联系，共同关注孩子的学习和生活情况。如果发现孩子有沉迷游戏的倾向，应及时与学校沟通，共同采取措施进行干预。
寻求专业帮助：
- 如果家长发现孩子已经沉迷游戏且难以自拔，可以寻求专业心理咨询或治疗机构的帮助，以协助孩子戒除游戏瘾，重新回归正常的学习和生活轨道。
四、特殊情况下的法律责任考量
- 如果孩子因沉迷游戏而拒绝完成义务教育，且家长已经尽到了合理的教育和监督义务，但孩子仍然无法摆脱游戏瘾，这种情况下家长的法律责任可能会相对减轻。但家长仍需积极寻求解决方案，确保孩子能够接受义务教育。
建议：家长应充分认识到自己在孩子教育中的法律责任和义务，积极履行教育职责，引导孩子健康成长。如果遇到孩子沉迷游戏等棘手问题，应及时寻求专业帮助，共同解决问题。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。