有限合伙人在执行事务合伙人未尽勤勉义务的情况下，确实有权起诉其承担赔偿责任。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国合伙企业法》的相关规定，执行事务合伙人应当按照合伙协议的约定或者全体合伙人的决定，勤勉、忠实地履行其职责。如果执行事务合伙人因故意或者重大过失给合伙企业造成损失，或者未按照合伙协议的约定履行其职责，给有限合伙人造成损失的，有限合伙人有权要求其承担赔偿责任。

2. 勤勉义务的内涵：

   • 勤勉义务要求执行事务合伙人在管理合伙企业事务时，应当尽到合理的注意和谨慎义务，以保护合伙企业的利益和有限合伙人的权益。这包括但不限于对合伙企业事务的认真管理、对市场机会的合理把握、对风险的及时评估和控制等。

3. 起诉的条件和程序：

   • 有限合伙人要起诉执行事务合伙人承担赔偿责任，需要满足一定的条件，如执行事务合伙人确实存在未尽勤勉义务的行为、该行为给有限合伙人造成了实际损失、损失与未尽勤勉义务之间存在因果关系等。
   • 在起诉程序上，有限合伙人需要准备充分的证据来证明其主张，包括合伙协议、执行事务合伙人的行为记录、损失的计算依据等。然后，有限合伙人可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求执行事务合伙人承担赔偿责任。

4. 可能的法律后果：

   • 如果法院认定执行事务合伙人确实未尽勤勉义务，并给有限合伙人造成了损失，那么执行事务合伙人可能需要承担赔偿责任，包括赔偿有限合伙人的直接损失和可能的间接损失。
   • 此外，如果执行事务合伙人的行为构成犯罪，如贪污、挪用资金等，那么还可能面临刑事责任的追究。

5. 实际操作中的建议：

   • 对于有限合伙人来说，在发现执行事务合伙人可能存在未尽勤勉义务的行为时，应及时收集证据并咨询专业律师的意见。
   • 在起诉前，有限合伙人可以尝试与执行事务合伙人进行协商，看是否能够通过和解的方式解决纠纷，以节省时间和成本。
   • 如果协商无果，有限合伙人应果断提起诉讼，以维护自己的合法权益。

综上所述，有限合伙人在执行事务合伙人未尽勤勉义务的情况下，确实有权起诉其承担赔偿责任。但需要注意的是，起诉前应充分准备证据并咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到有效维护。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。