结论：嫌疑人关押37天后没开居住证明不让出来，这种做法本身存在错误，嫌疑人是否释放与是否开具居住证明无关，应依据法定条件和程序来决定。以下为你详细分析：

从法律规定的关押期限角度

1. 刑事拘留的最长期限：根据我国《刑事诉讼法》规定，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。所以，一般情况下，刑事拘留的最长期限是37天。
2. 37天后的处理：如果37天期满，人民检察院不批准逮捕的，公安机关在接到通知后应当立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。也就是说，37天是一个关键节点，过了这个时间，如果没有批准逮捕，嫌疑人就应当被释放或者变更强制措施，而不是以没开居住证明为由继续关押。

从居住证明与关押释放的关系角度

1. 居住证明的作用：居住证明通常是用于证明个人在某一地区的居住情况，在一些民事活动或者特定的行政程序中可能会用到，比如办理一些证件、享受某些社会福利等。但它与刑事案件中嫌疑人的关押和释放没有直接的关联。
2. 不能以居住证明限制释放：公安机关不能以嫌疑人没有开具居住证明为由，拒绝释放符合法定释放条件的嫌疑人。这种做法是没有法律依据的，侵犯了嫌疑人的合法权益。

应对措施

1. 嫌疑人或其家属可以要求公安机关说明理由：如果遇到这种情况，嫌疑人或其家属有权要求公安机关说明继续关押的法律依据和理由。公安机关有义务进行解释和说明。
2. 向相关部门反映情况：如果公安机关拒绝说明理由或者仍然坚持错误做法，嫌疑人或其家属可以向其上级公安机关、同级人民检察院反映情况，要求监督公安机关依法办事，纠正错误的关押行为。
3. 申请行政复议或提起行政诉讼：如果认为公安机关的行为严重侵犯了自己的合法权益，还可以在法定期限内申请行政复议或者提起行政诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。