结论：在您描述的情况下，母亲能否继承爷爷奶奶的遗产，主要取决于是否存在有效的遗嘱以及是否满足代位继承的条件。以下分情况详细说明：
存在有效遗嘱的情况：
- 如果爷爷奶奶在生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了母亲为继承人，那么母亲有权按照遗嘱继承爷爷奶奶的遗产。
- 遗嘱的设立需符合《中华人民共和国民法典》的相关规定，如自书遗嘱需亲笔书写、签名并注明年、月、日；代书遗嘱、打印遗嘱需有两个以上见证人在场见证等。
不存在有效遗嘱，但满足代位继承条件的情况：
- 代位继承是指被继承人的子女先于被继承人死亡时，由该子女的晚辈直系血亲代替其继承被继承人遗产的法定制度。
- 在您的情况下，如果父亲（即爷爷奶奶的子女）先于爷爷奶奶去世，且母亲是父亲的配偶（但注意，代位继承通常不直接涉及配偶，除非配偶同时也是被代位人的晚辈直系血亲，这在常规情况下不成立，此处主要考虑的是若母亲作为父亲遗产的继承人，在父亲遗产中包含对爷爷奶奶遗产的继承权时的情况，但更直接的是考虑子女代位继承后，母亲作为子女配偶的间接影响，实际上在直接继承层面，母亲不直接因代位继承获得爷爷奶奶遗产，除非遗嘱指定或特殊情况。但为全面分析，我们假设这里探讨的是子女代位继承后，母亲作为家庭成员在财产分配上的间接权益，而直接回答母亲能否继承应聚焦于遗嘱或法定继承中母亲作为配偶的直接权益，不过在无遗嘱且父亲已故时，母亲不直接继承爷爷奶奶遗产，除非通过父亲遗产中的相关权益间接获得，但这非直接继承。更准确的直接继承分析如下）：
- 更准确的直接继承分析是：若父亲先于爷爷奶奶去世，且爷爷奶奶无其他第一顺序继承人（如其他子女、配偶已去世），且未立遗嘱，则父亲的子女（即您的兄弟姐妹或您自己，若您是唯一子女）有权代位继承爷爷奶奶的遗产。此时，母亲不直接继承爷爷奶奶的遗产，除非她也是被继承人的子女（这显然不成立）或遗嘱指定。但母亲作为父亲遗产的继承人（若父亲有遗产），可能间接涉及到与爷爷奶奶遗产相关的财产分配（如父亲遗产中包含对爷爷奶奶遗产的预期继承权，但这需具体分析且非直接继承）。
- 简化直接继承层面的回答：在无遗嘱且父亲已故的情况下，母亲不直接继承爷爷奶奶的遗产，除非遗嘱指定或存在其他特殊法律安排（如母亲作为丧偶儿媳对公婆尽了主要赡养义务，在特定条件下可能作为第一顺序继承人，但这需具体证据支持）。
不存在有效遗嘱，且不满足代位继承条件（或代位继承不直接涉及母亲）的情况：
- 如果爷爷奶奶没有立遗嘱，且不满足代位继承的条件（或代位继承不直接使母亲获得继承权），那么爷爷奶奶的遗产将按照法定继承顺序进行分配。
- 法定继承顺序中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。在您的情况下，如果爷爷奶奶的配偶（即您的另一位祖父母，如果仍在世）和子女（包括父亲，但父亲已去世）是第一顺序继承人。由于父亲已去世，除非存在代位继承（由父亲的子女代位），否则母亲不直接作为第一顺序继承人继承爷爷奶奶的遗产。
- 如果爷爷奶奶的所有第一顺序继承人都已去世，且没有遗嘱，那么遗产将由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。母亲同样不直接作为第二顺序继承人继承。
建议：
- 如果您希望母亲能够继承爷爷奶奶的遗产，建议爷爷奶奶在生前立下合法有效的遗嘱，明确指定母亲为继承人。
- 如果爷爷奶奶已经去世且未立遗嘱，您需要了解家庭的具体情况，包括其他继承人的存在与否以及他们与爷爷奶奶的关系，以确定母亲是否有可能通过其他途径（如特殊法律安排）获得继承权。
- 在任何情况下，涉及遗产继承的问题都可能比较复杂，建议咨询专业律师以获取更具体和个性化的法律建议。
后续行动：如果您有进一步的疑问或需要更详细的法律分析，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供针对性的法律建议。