业务员经公司同意给客户送礼是否构成犯罪，不能一概而论，需要分情况讨论：

1. 若送礼行为符合商业惯例且未违反法律法规

   • 在商业活动中，为了维护良好的客户关系或促进业务合作，公司有时会允许业务员在合理范围内给客户送礼。这种送礼行为如果符合行业惯例，且礼品的价值在合理范围内（通常不会过高，不会构成贿赂），同时没有违反任何法律法规，那么这种行为一般是不构成犯罪的。它更多地被视为一种商业礼仪或客户关系维护的手段。

2. 若送礼行为涉嫌行贿

   • 如果业务员经公司同意给客户送礼，但礼品的价值过高，或者送礼的目的是为了获取不正当利益（如获取订单、排挤竞争对手等），那么这种行为就可能涉嫌行贿。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，行贿罪是指为谋取不正当利益，给予国家工作人员以财物的行为。虽然这里的客户可能不是国家工作人员，但如果送礼行为涉及到了利用职权或地位形成的便利条件，或者礼品价值明显超出了正常商业交往的范畴，且目的是为了获取不正当利益，那么仍然有可能构成行贿罪或其他相关犯罪（如对非国家工作人员行贿罪，如果客户是非国家工作人员的话）。
   • 具体来说：
     • 如果客户是国家工作人员，且送礼行为符合行贿罪的构成要件，那么业务员和公司都可能面临刑事责任。
     • 如果客户是非国家工作人员，但送礼行为符合对非国家工作人员行贿罪的构成要件，同样，业务员和公司也可能面临刑事责任。

3. 公司责任与业务员个人责任

   • 在涉及行贿等犯罪行为时，不仅业务员个人可能面临刑事责任，公司也可能因管理不善或默许、纵容此类行为而承担相应的法律责任。公司应当建立健全的内部控制机制，防止业务员利用公司名义进行违法犯罪活动。

法律建议：

• 对于公司而言，应当制定明确的送礼政策，规定礼品的价值范围、送礼的场合和目的等，以确保送礼行为符合法律法规和商业道德。
• 对于业务员而言，应当严格遵守公司的送礼政策，避免进行任何可能涉嫌违法犯罪的送礼行为。如果遇到客户提出不合理的要求或送礼请求，应当及时向公司报告并寻求指导。

可能后果：

• 如果送礼行为被认定为行贿或对非国家工作人员行贿，业务员和公司都可能面临刑事处罚，包括罚款、没收财产、有期徒刑等。同时，这种行为也会对公司的声誉和业务造成严重影响。

总结：业务员经公司同意给客户送礼是否构成犯罪，取决于送礼的具体情况、目的以及是否违反了相关法律法规。因此，在进行此类行为时，务必谨慎行事，确保符合法律法规和商业道德的要求。如果你或你的公司面临类似问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。