明确结论：

1. 父母与子女的关系基于血缘或法律拟制形成，无法通过任何方式断绝，因此不存在因断绝关系而给予补偿金的情况。
2. 子女对父母的赡养义务，以及父母对子女的抚养义务，均是法定的，不受关系紧张或声称断绝的影响。

详细分析：

父母与子女关系的法律性质

父母与子女的关系，无论是基于血缘（自然血亲）还是法律拟制（如收养等），都是法定的、不可断绝的。这种关系具有特殊的法律地位，它不仅仅是一种情感联系，更是一种法律上的权利和义务关系。因此，无论双方之间是否存在矛盾或冲突，甚至是否有过“断绝关系”的激烈行为，其法律关系均不受影响。

赡养与抚养义务的法定性

1. 子女的赡养义务：当父母因缺乏劳动能力或生活困难而需要赡养时，子女必须承担经济上供养、生活上照料和精神上慰藉等责任。这一义务是法律规定的强制性义务，不会因所谓的“断绝关系”而消除。即使双方关系紧张或存在分歧，只要父母符合需要赡养的条件，子女就必须履行相应的赡养责任。

2. 父母的抚养义务：同样地，父母对子女也有抚养教育的义务。这一义务也是基于血缘关系和法律规定而产生的，且不能因断绝关系而消除。如果父母未履行抚养义务，未成年的或不能独立生活的子女有权要求父母给付抚养费。对于成年但因残疾、疾病或其他原因无法维持自己生活的子女，如果父母有给付能力，也应负担必要的抚养费。

“断绝关系”声明的法律效力

“断绝关系”这一行为在法律上并不具有完全的效力，特别是在涉及抚养费和赡养费等家庭法上的义务时。这些义务是由法律规定的，且通常与血缘关系紧密相关，因此无法通过简单的声明或协议来免除。即使双方签订了所谓的“断绝关系”协议，该协议在法律上也是无效的，不能改变双方的法律关系和义务。

可能的法律后果与建议

1. 法律后果：如果子女不履行赡养义务，父母有权向法院提起诉讼，要求子女支付赡养费。同样地，如果父母不履行抚养义务，子女也有权向法院提起诉讼，要求父母支付抚养费。法院会根据双方的实际情况和法律规定，作出公正的判决。

2. 建议：家庭关系中的矛盾和纠纷应通过积极沟通、协商或寻求法律援助等途径来妥善解决。断绝关系并非解决问题的有效方式，反而可能加剧矛盾，破坏家庭和谐与稳定。在处理家庭关系时，应尊重法律规定和道德准则，以维护家庭的幸福与安宁。如果面临相关的法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供个性化的法律意见。

综上所述，父母与子女的关系是法定的、不可断绝的，且双方均负有法定的赡养与抚养义务。这些义务不受任何外部因素的影响，包括所谓的“断绝关系”声明。在处理家庭关系时，应秉持理性、合法的原则，通过正当途径解决矛盾，维护家庭的和谐与稳定。