在您母亲健在而父亲去世的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律继承流程的问题，我会根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答。

一、明确遗产范围与性质

首先，需要确定您父亲的存款是否属于遗产。一般来说，父亲在婚姻期间积累的存款，若未特别约定为个人财产，则属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半自然归您母亲所有，另一半才作为您父亲的遗产进行继承。如果存款是您父亲婚前个人财产，或者有明确约定为个人所有，则全部作为遗产。

二、确定继承方式

继承方式主要有两种：遗嘱继承和法定继承。

1. 遗嘱继承：如果您父亲生前立有合法有效的遗嘱，并明确安排了存款的继承，那么应严格遵循遗嘱执行。遗嘱继承人可以是您母亲、您或其他子女、父母等指定的人。

2. 法定继承：在无遗嘱或遗嘱无效的情况下，按照法定继承顺序进行。法定继承顺序中，第一顺序继承人包括配偶（即您母亲）、子女、父母（若在世）。由于题目已说明您父亲去世且未提及祖父母情况，我们假设祖父母已不在世或放弃继承权，因此主要考虑您母亲和您及兄弟姐妹（如有）作为第一顺序继承人。

三、法定继承顺序与份额

在法定继承中，同一顺序继承人原则上均等分配遗产。但有以下特殊情况：

• 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾。
• 对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，可以多分。
• 有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，应当不分或者少分。

四、办理继承手续

1. 准备证明材料：

   • 死亡证明：由公安机关出具，证明您父亲已去世。
   • 亲属关系证明：由单位、居委会或村委会出具，证明您与您父亲的关系以及继承人的身份。

2. 继承公证：

   • 前往公证处办理继承公证，确认继承人身份及遗产范围。这是办理银行手续的重要前提。

3. 银行手续：

   • 凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可咨询相关银行。

五、特殊情况处理

• 继承争议：如果继承人之间对存款继承存在争议，首先尝试协商或调解。无法协商一致时，可通过向人民法院提起诉讼解决，法院将依法判决。

结论与建议

综上所述，在您母亲健在而父亲去世的情况下，存款的继承需首先明确遗产范围与性质，然后依据遗嘱或法定继承方式确定继承人及份额。建议您与家庭成员之间就遗产分配进行充分沟通，尽量达成一致意见。如果无法协商一致或存在争议，可寻求法律途径解决。在整个过程中，应严格遵守法律法规，确保继承的合法性与公正性。如有需要，可咨询专业律师以获取更具体的法律建议。