针对您提出的“医疗机构存在违法事实但卫生执法部门不认定其违法、不出具处罚报告时该如何申请行政救济”的问题，结合行政救济程序和实务经验，现从法律程序和实务操作角度为您详细解答：

1. 申请行政复议：启动上级监督程序

法律依据：根据《行政复议法》第11条、第12条，若认为卫生执法部门未履行法定职责（如不认定违法、不处罚），可向其上级主管部门（如市卫健委）或同级政府申请行政复议。
操作要点：

• 复议申请书：需明确复议请求（如责令认定违法并处罚）、事实理由（医疗机构违法证据、执法部门不作为的依据）、申请人信息及日期。
  
• 证据材料：附医疗机构违法证据（如诊疗记录、患者投诉材料）、向执法部门反映情况的记录（如书面申请、邮件、录音等）。
  
• 时效要求：自知道执法部门不作为之日起60日内提出（特殊情况可延长）。
  风险提示：若复议机关维持原决定，可进一步提起行政诉讼；若撤销或变更，执法部门需重新处理。

2. 提起行政诉讼：通过司法审查监督行政行为

法律依据：根据《行政诉讼法》第12条、第26条，若复议未解决或未申请复议，可直接以卫生执法部门为被告，向法院提起行政不作为之诉。
操作要点：

• 起诉状：需明确诉讼请求（如判令执法部门履行处罚职责）、事实理由（违法事实、执法部门不作为的证据）、原告信息及日期。
  
• 证据材料：与复议阶段类似，但需更注重证明执法部门“应当作为而不作为”（如法律明确规定其处罚职责）。
  
• 管辖法院：一般为执法部门所在地的基层法院（若级别较高可能由中院管辖）。
  风险提示：法院可能要求先申请复议（复议前置情形），需提前确认当地规定；诉讼周期较长，需做好时间准备。

3. 申请检察机关监督：通过法律监督推动履职

法律依据：根据《行政诉讼法》第25条第4款，若执法部门不作为损害公共利益，可向检察机关申请行政公益诉讼监督。
操作要点：

• 申请书：需说明医疗机构违法事实、执法部门不作为的公共利益损害后果（如危害患者健康、破坏医疗秩序）、检察机关介入的必要性。
  
• 证据材料：除违法证据外，需提供执法部门不作为的证明（如多次投诉无果的记录）。
  
• 后续程序：检察机关可调查核实，若认为符合条件，会向执法部门发出检察建议或直接提起公益诉讼。
  风险提示：公益诉讼适用范围较窄，需符合“损害公共利益”要件；个人申请可能需联合其他受害者或通过社会组织推动。

4. 投诉举报：通过内部监督或上级督办促解决

操作路径：

• 向上级部门投诉：向省卫健委、国家卫健委等上级部门提交书面投诉材料，要求督办执法部门履职。
  
• 向纪委监委反映：若执法部门存在不作为背后的腐败问题（如收受贿赂、包庇违法），可向纪委监委举报。
  
• 通过政务平台反映：利用“12345”政务服务热线、政府网站信访渠道等，要求相关部门介入调查。
  风险提示：内部监督效力较弱，可能需结合其他程序（如复议、诉讼）共同推动。

实务建议：多程序并行提高效率

1. 优先申请复议：复议程序相对快速，且能直接纠正执法部门错误，若复议结果不利再诉讼。
   
2. 同步准备诉讼材料：在申请复议时，可同步整理诉讼证据，避免时效过期。
   
3. 联合其他受害者：若医疗机构违法行为涉及多人（如多名患者受害），可联合申请复议或诉讼，增强影响力。
   
4. 咨询专业律师：行政程序涉及法律条文复杂、证据要求严格，建议委托律师协助起草文书、参与程序。

若您有具体证据材料或案件细节（如医疗机构违法类型、向执法部门反映的记录等），可进一步向我说明，我会结合实际情况为您制定更详细的维权方案。