结论：邻居不可以私自砍伐您家位于其房边的树和竹林，除非存在特定法定情形。以下从不同角度进行分析：

一、物权保护角度

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您对自家的树和竹林享有所有权，这是物权的一种具体表现。所有权包括占有、使用、收益和处分的权利。邻居未经您的同意，私自砍伐您的树和竹林，侵犯了您的物权，特别是处分权。您有权要求邻居停止侵害、恢复原状，并赔偿因此造成的损失。

二、相邻关系角度

虽然相邻关系中，各方应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系，但这并不意味着邻居可以随意处置您的财产。如果邻居认为您的树和竹林对其房屋造成了影响（如遮挡阳光、影响通风等），应当通过协商、调解或诉讼等合法途径解决，而不是私自砍伐。

三、特定法定情形

当然，也存在一些特定法定情形，邻居可能可以砍伐您的树和竹林，但这些情形通常非常严格且有限。例如，如果您的树和竹林已经危及邻居的人身或财产安全，且情况紧急，邻居在来不及通知您的情况下，可能可以采取必要的紧急避险措施。但即便如此，邻居在事后也应当及时通知您，并承担相应的证明责任。

四、法律后果与建议

1. 法律后果：如果邻居私自砍伐了您的树和竹林，您有权要求其承担民事责任，包括停止侵害、恢复原状和赔偿损失。如果砍伐行为构成犯罪（如故意毁坏财物罪），邻居还可能面临刑事责任。

2. 建议：

   • 与邻居协商：首先尝试与邻居进行友好协商，了解其砍伐的原因和目的，寻求双方都能接受的解决方案。
   • 收集证据：如果协商无果，您应当收集相关证据（如照片、视频、证人证言等），以证明邻居的砍伐行为以及您因此遭受的损失。
   • 寻求法律帮助：在必要时，您可以向我咨询或寻求其他法律专业人士的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，邻居不可以私自砍伐您家位于其房边的树和竹林。如果发生此类情况，您应当及时采取措施维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。