针对您提出的“二十多年前故意伤害致死，立案后没逃避正常生活，现在被抓，公安是否有责任”的问题，我的分析如下：
关于案件的追诉时效：
- 根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，法定最高刑为无期徒刑、死刑的，追诉时效期限为二十年。如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准。在您描述的情况中，故意伤害致死案件通常涉及较重的刑罚，因此，理论上，如果案件在二十年内未被追诉，且未经最高人民检察院核准继续追诉，那么从时效角度来看，可能存在一定的法律障碍。但关键在于，是否已经报请并获得了最高人民检察院的核准继续追诉。
关于公安的责任：
- 公安部门在刑事案件中的主要职责是立案侦查、收集证据、抓捕犯罪嫌疑人等。如果案件在二十多年前已经立案，且公安部门在当时已经开展了相应的侦查工作，但因各种原因（如犯罪嫌疑人未归案、证据不足等）未能及时结案，这并不直接构成公安部门的“责任”。
- 如果现在公安部门根据新的证据或线索，重新启动了对该案件的侦查，并最终抓捕了犯罪嫌疑人，这是其履行职责的正常行为。除非有证据表明公安部门在之前的侦查过程中存在故意拖延、包庇等违法行为，否则不能简单地认为公安部门有责任。
关于犯罪嫌疑人的情况：
- 您提到犯罪嫌疑人“没逃避正常生活”，这并不影响案件的追诉和公安部门的侦查工作。无论犯罪嫌疑人是否逃避，只要案件符合追诉条件，公安部门都有权进行侦查和抓捕。
- 犯罪嫌疑人在案件中的行为（如是否自首、是否积极赔偿等）可能会影响其最终的量刑，但这与公安部门的责任无直接关联。
可能的法律后果：
- 如果案件最终被追诉并进入审判阶段，犯罪嫌疑人将面临相应的刑事处罚。具体刑罚将根据案件的具体情节（如犯罪手段、后果、犯罪嫌疑人的态度等）由法院裁定。
- 如果公安部门在侦查过程中存在违法行为（如刑讯逼供、伪造证据等），犯罪嫌疑人及其辩护人有权提出异议，并可能因此影响案件的审理结果。
总结与建议：
- 从法律角度来看，公安部门在刑事案件中的职责是明确的，其是否“有责任”取决于具体案件的侦查过程和证据情况。
- 如果您或您认识的人涉及此类案件，建议尽快咨询专业律师，以便更全面地了解案件情况、维护自身权益。
- 同时，也请保持对案件进展的关注，及时配合公安部门和法院的工作，以便案件能够得到公正、及时的处理。
如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。