在法院执行过程中，如果发现申请执行人涉及刑事犯罪，这确实可能影响到执行程序的正常进行，但具体是否终止（这里更准确的法律术语应为“中止”）执行，需根据具体情况及法律规定来判断。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与中止执行的条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，特别是关于中止执行的条款，当执行案件涉及刑事案件，且需要等待刑事案件的处理结果作为执行依据，或者刑事犯罪行为直接影响到执行程序的进行时，人民法院应当裁定中止执行。这包括但不限于以下情形：
- 被执行人（或申请执行人，但此处重点讨论被执行人情况以类比说明，实际需关注申请执行人犯罪对执行的影响，如申请执行人犯罪可能导致其失去执行能力或执行标的合法性存疑等）因涉嫌犯罪被采取强制措施，导致无法履行或推进执行程序。
- 执行标的物与刑事案件有关，如执行标的物是赃款赃物，需要等待刑事案件审理完毕并作出处理决定。
- 执行案件所依赖的事实与刑事案件查明的事实密切相关，需等待刑事案件结果以准确判断执行责任或标的合法性。
虽然直接的法律条款可能并未明确提及“申请执行人刑事犯罪”即中止执行，但根据“人民法院认为应当中止执行的其他情形”这一兜底条款，以及执行过程中需确保公正性、保护当事人权益的原则，若申请执行人刑事犯罪确实影响到执行程序的公正进行或执行标的的合法性，法院有权裁定中止执行。
二、中止执行的具体情形分析（针对申请执行人刑事犯罪）
- 申请执行人失去执行能力：若申请执行人因刑事犯罪被羁押或判刑，导致其无法继续推进执行程序或管理执行所得，法院可考虑中止执行。
- 执行标的合法性存疑：若申请执行人刑事犯罪涉及执行标的的非法性（如标的为犯罪所得），则执行程序需待刑事案件审结确认标的合法性后再进行。
- 避免民事执行干扰刑事调查：为确保刑事程序的独立性和公正性，避免民事执行与刑事调查相互干扰，法院可裁定中止执行。
三、中止执行的程序与恢复执行
中止执行程序：
- 法院在发现执行中涉及申请执行人刑事犯罪或其他应当中止执行的情形时，会依法作出裁定，中止执行程序。
- 裁定书会送达当事人，并告知其有申请复议的权利（但并非所有中止执行的裁定都可复议，具体取决于法律规定和裁定内容）。
恢复执行：
- 当导致中止执行的情形消失后，如刑事案件审理完毕、申请执行人恢复执行能力或执行标的合法性得到确认等，法院会根据当事人的申请或依职权恢复执行。
- 恢复执行时，已采取的查封、扣押、冻结措施通常继续有效，无需重新办理手续。
四、中止执行与终结执行的区别
- 中止执行是暂时停止执行程序，待中止情形消失后可恢复执行，不意味着执行程序的完全结束。
- 终结执行则是结束执行程序，通常发生在执行无法进行或无需继续的情况下，如被执行人死亡且无遗产可供执行等。
综上所述，虽然直接的法律条款可能未明确提及申请执行人刑事犯罪即中止执行，但根据法律规定和执行原则，若申请执行人刑事犯罪确实影响到执行程序的公正进行或执行标的的合法性，法院有权裁定中止执行。当事人应积极配合司法机关工作，及时了解案件进展情况，以维护自身合法权益。