当儿子申请成为父亲的监护人后，他将会承担一系列重要的职责，并依法享有相应的权利。以下是根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对监护人权利的详细解释：

一、代理被监护人实施民事法律行为

作为监护人，儿子有权代理父亲实施民事法律行为。这包括但不限于签订合同、处理财产、进行交易等。在代理过程中，监护人需要遵循诚实信用原则，以被监护人的最大利益为出发点，谨慎行事。

二、保护被监护人的人身权利

监护人有责任保护父亲的人身安全，防止其受到任何形式的侵害。这包括保护父亲免受身体伤害、精神损害以及非法拘禁等。如果父亲的人身权利受到侵害，监护人有权采取必要的法律措施来维护其权益。

三、保护被监护人的财产权利

监护人需要妥善管理父亲的财产，确保其财产安全并增值。这包括防止财产被非法侵占、挪用或毁损，以及合理投资以增加财产价值。监护人在处理父亲财产时，必须遵循法律法规，不得滥用职权或谋取私利。

四、保护被监护人的其他合法权益

除了人身权利和财产权利外，监护人还有责任保护父亲的其他合法权益，如名誉权、隐私权等。如果父亲的这些权益受到侵害，监护人有权采取法律手段进行维权。

五、依法履行监护职责产生的权利受法律保护

监护人在依法履行监护职责过程中所产生的权利，是受到法律保护的。这意味着，如果监护人在履行职责时受到任何形式的阻碍或侵害，他有权寻求法律援助并维护自己的合法权益。

六、承担法律责任

虽然这一点更多是关于监护人的义务，但也是与权利紧密相关的。如果监护人不履行监护职责或者侵害被监护人的合法权益，他应当承担相应的法律责任。这既是对监护人行为的约束，也是对被监护人权益的保障。

概括起来，当儿子申请成为父亲的监护人后，他将享有代理父亲实施民事法律行为、保护父亲的人身权利、财产权利以及其他合法权益等权利。同时，他也需要承担相应的法律责任，确保在履行监护职责过程中不损害被监护人的利益。