关于公司员工病假证明应该由谁来提供的问题，这通常涉及到企业管理和医疗法规两个方面。结合您提供的信息，我将从这两个角度为您详细解答。
首先，从企业管理的角度来看，员工病假证明应由企业医疗机构或指定医院开具。这是根据《上海市劳动局关于加强企业职工疾病休假管理保障职工疾病休假期间生活的通知》中的规定，员工疾病需要休假的，应凭企业医疗机构或指定医院开具的《病情证明单》，并由企业行政审核批准。这一规定确保了病假证明的权威性和真实性，同时也便于企业进行管理和审核。
其次，从医疗法规的角度来看，出具病假证明是法律赋予医疗机构及执业医师的权力和义务。根据《中华人民共和国执业医师法》《医疗机构管理条例》等相关法律规定，病假证明是具有法律效力的重要医学文书。执业医师必须亲自诊查后，方可签署病假证明，并在患者病历中记录相应的诊疗情况。病假时间也必须同时记录在门（急）诊病历中或者患者的出院记录中。这些规定确保了病假证明的合法性和准确性。
具体来说，病假证明的开具应遵循以下原则：
由具有执业医师资格的专业人员开具：只有已取得执业医师资格并经依法执业注册的专业人员，才有权签署病假证明。
亲自诊查后开具：执业医师必须亲自对员工进行诊查，了解其病情后，才能根据实际情况开具病假证明。
病假时间合理：病假证明上的休假时间应根据员工的实际病情和医疗需要来确定，不得随意延长或缩短。同时，不同类型的病假（如急诊病假、日间门诊病假、住院病假等）也有相应的休假时间限制。
审核与盖章：医疗机构应设置专人负责审核病假证明，确保其真实性和合法性。审核通过后，应给予盖章确定，并详细记录开具病假证明的医师姓名、所在科室、患者姓名、所在单位以及年龄、性别、疾病诊断、病假天数等情况，以备查询。
综上所述，公司员工病假证明应由企业医疗机构或指定医院开具，并由具有执业医师资格的专业人员亲自诊查后签署。同时，医疗机构应加强对病假证明的管理和审核，确保其真实性和合法性。这样既能保障员工的合法权益，又能维护企业的正常运营秩序。