结论：楼下私毁绿化带卖小吃，您是有权起诉的，但具体起诉的路径和依据需要分情况讨论。

分析如下：

1. 从侵权角度：

   • 法律依据：根据《民法典》的相关规定，任何组织或者个人不得侵占、买卖或者以其他形式非法转让土地，也不得擅自改变土地用途。绿化带作为小区公共区域，其使用权和收益权归全体业主共有，任何个人未经许可不得擅自占用或改变其用途。楼下私毁绿化带卖小吃，显然侵犯了全体业主的共有权益，构成侵权。
   • 起诉路径：您可以作为业主之一，代表全体业主向法院提起侵权诉讼，要求楼下停止侵权行为，恢复绿化带原状，并赔偿因此造成的损失。

2. 从行政违法角度：

   • 法律依据：根据《城市绿化条例》等相关规定，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施。楼下私毁绿化带，不仅违反了小区内部的管理规定，也违反了城市绿化的相关法律法规，属于行政违法行为。
   • 处理方式：您可以先向小区物业或居委会反映情况，要求他们出面制止并恢复绿化带。如果物业或居委会未能有效处理，您可以向当地的城市管理部门或绿化行政主管部门投诉，由相关部门对楼下进行行政处罚。当然，如果您认为行政处罚不足以弥补损失或制止侵权行为，您仍然可以选择向法院提起民事诉讼。

3. 从合同纠纷角度（如果涉及）：

   • 情况说明：如果楼下私毁绿化带的行为还涉及到了与小区物业或开发商之间的合同纠纷，比如楼下认为绿化带的使用权或收益权应归其所有，那么这就可能构成合同纠纷。
   • 处理方式：在这种情况下，您需要先审查相关合同条款，确定绿化带的使用权和收益权归属。如果合同中有明确规定，且楼下违反了合同约定，您可以作为业主之一或代表全体业主，依据合同条款向法院提起诉讼，要求楼下承担违约责任。

建议：

• 在起诉前，建议您先收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明楼下确实存在私毁绿化带卖小吃的行为。
• 如果可能的话，您可以先尝试与楼下进行协商，看是否能够达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果或楼下拒绝配合，您可以及时向相关部门投诉或向法院提起诉讼，以维护自己和全体业主的合法权益。

后续行动：

• 如果您决定起诉，建议您咨询专业律师（虽然这里不能直接推荐，但您可以直接向我咨询相关法律问题），以获取更具体的法律建议和诉讼指导。
• 在诉讼过程中，您需要积极配合律师的工作，提供必要的证据和信息，以确保诉讼的顺利进行。