结论：检察院批准逮捕后97天公安因羁押期限届满取保，这通常意味着案件在侦查阶段因案情复杂、证据收集困难等原因，导致侦查羁押期限延长，最终在羁押期限届满时，公安机关根据案件实际情况和法律规定，对犯罪嫌疑人采取了取保候审措施。

详细分析：

1. 刑事诉讼程序与时间节点：

   • 拘留与审查逮捕：公安机关对犯罪嫌疑人拘留后，认为需要逮捕的，会在一定时间内提请人民检察院审查批准。人民检察院在接到提请批准逮捕书后，会在七日内作出决定。
   • 侦查羁押期限：对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限一般不得超过二个月。若案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。对于特定类型的重大复杂案件，如交通十分不便的边远地区的案件、重大的犯罪集团案件等，还可以经过省级人民检察院批准或决定再延长二个月。若案件可能判处十年有期徒刑以上刑罚，且延长期限届满仍不能侦查终结的，可以再延长二个月。
   • 取保候审的时机：取保候审并非在批捕后立即进行，而是需要根据案件进展和证据情况来评估是否满足取保候审的条件。在侦查羁押期限内，如果案件尚未侦查终结，或者证据尚未收集充分，通常不会立即考虑取保候审。

2. 案件复杂性与证据收集：

   • 案件可能涉及多个犯罪嫌疑人、多起犯罪事实或复杂的法律关系，导致侦查工作难度较大，需要更长时间来收集和固定证据。
   • 取保候审需要确保犯罪嫌疑人不会妨碍诉讼活动的顺利进行，也不会对社会造成新的危害。因此，在申请取保候审前，必须确保已经收集了足够的证据来证明犯罪嫌疑人的罪行，并评估其社会危险性。

3. 取保候审的法定条件与审批流程：

   • 法定条件：根据《刑事诉讼法》的规定，取保候审适用于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保候审不致发生社会危险性的；患有严重疾病、生活不能自理、怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女等情形。
   • 审批流程：取保候审需要经过严格的审批流程，包括办案人员提出意见、部门负责人审核、县级以上公安机关负责人批准等环节。如果案件已经进入审查起诉阶段或审判阶段，还需要经过检察机关或法院的同意。

具体到本案例：

• 检察院批准逮捕后，案件进入了侦查阶段。由于案情复杂或证据收集困难等原因，侦查羁押期限被延长。
• 在羁押期限届满时，公安机关根据案件实际情况和法律规定，认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件（如可能判处较轻刑罚、社会危险性较低等），因此对其采取了取保候审措施。

建议与注意事项：

• 对于犯罪嫌疑人及其家属而言，取保候审并不意味着案件已经结束或犯罪嫌疑人已经无罪。取保候审只是一种临时性的强制措施，案件仍会继续侦查、审查起诉和审判。
• 在取保候审期间，犯罪嫌疑人需要遵守相关规定，如不得离开指定居住地、不得干扰证人作证等。若违反规定，可能会被撤销取保候审并重新羁押。
• 若对取保候审的决定有异议或需要了解更多案件信息，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。