结论：老赖在被执行期间转移财产到子女名下，一般情况下不能直接申请冻结其子女的银行账户，但在特定条件下可以采取相应法律措施。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况下的法律原则
在债务债权纠纷中，执行的对象通常是债务人本人的财产。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行法院有权查封、扣押、冻结、拍卖、变卖被执行人应当履行义务部分的财产。然而，子女的银行账户，除非有证据证明该账户内的资金属于被执行人所有或存在其他法定情形，否则一般不被视为被执行人的财产，因此不能直接申请冻结。
二、特定条件下的法律措施
证明财产转移行为：
- 如果能够证明老赖在被执行期间将财产转移至子女名下，且该行为是为了逃避债务履行，那么这种行为可能构成恶意转移财产。
- 在这种情况下，债权人可以向法院提起撤销权之诉，请求法院撤销老赖的财产转移行为，并将财产恢复至转移前的状态，以便执行。
子女账户资金来源的调查：
- 如果子女账户内的资金确实来源于老赖的恶意转移，且该资金是执行标的的一部分，那么债权人可以申请法院对这部分资金进行执行。
- 但这需要债权人提供充分的证据证明子女账户内的资金与老赖的债务有直接关联，且该资金不属于子女的合法财产。
执行过程中的协助执行义务：
- 在某些情况下，即使子女账户内的资金不属于老赖的财产，但如果子女作为第三人，有协助执行老赖财产的义务（如提供财产线索、配合法院调查等），那么子女也需要履行相应的义务。
- 然而，这并不意味着可以直接冻结子女的银行账户，而是要求子女提供必要的协助。
三、实际操作中的建议
收集证据：
- 债权人应积极收集老赖恶意转移财产的证据，包括转账记录、银行流水、财产转移协议等，以便在提起撤销权之诉或申请执行时提供有力支持。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂案件时，建议债权人咨询专业律师，以便更准确地把握法律条款和司法实践，制定更有效的诉讼策略。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律建议。
申请法院调查：
- 如果债权人无法自行收集到足够的证据，可以向法院申请调查令，要求法院对老赖及其子女的财产状况进行调查，以便更准确地确定执行标的和执行措施。
后续行动建议：如果你发现老赖有恶意转移财产的行为，建议尽快收集相关证据，并向法院提起撤销权之诉或申请执行。同时，你也可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供更详细的法律建议和帮助。