行政诉讼不履行法定职责的起诉期限，一般情况下是受规定期限限制的，但在特定情况下可能不受限制或有所延长。以下是对此问题的详细分析：
一、起诉期限的一般规定
根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，公民、法人或者其他组织向人民法院提起行政诉讼，通常需遵守起诉期限的要求。一般情况下，直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为（或行政机关不履行法定职责）之日起六个月内提出。这是起诉期限的基本规定，适用于大多数行政诉讼案件。
二、行政机关不履行法定职责的起诉期限具体规定
有履行期限约定的情况：
- 如果法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行职责的期限有明确规定，公民、法人或其他组织可以在该履行期限届满之日起六个月内向人民法院提起诉讼。例如，若某行政法规规定行政机关应在收到申请后30日内作出答复，那么申请人可以在第31日起的六个月内提起诉讼。
无明确履行期限的情况：
- 在行政机关接到申请之日起两个月内不履行的（特殊情况除外），公民、法人或其他组织可以在两个月期满后的六个月内向人民法院提起诉讼。这里的“两个月”是法律对行政机关履行职责的一般期限要求，若行政机关未在此期限内履行，则申请人有权在期满后的六个月内提起诉讼。
三、不受起诉期限限制或有所延长的情况
紧急情况：
- 在紧急情况下，如需要行政机关立即采取措施以防止损害扩大或保护公民、法人或其他组织的合法权益，而行政机关不履行法定职责时，提起诉讼不受上述两个月及六个月期限的限制。但应在合理的、知道或应当知道行政机关不履行职责后的时间内尽快起诉，以确保及时维护自身权益。
不可抗力或其他非自身原因：
- 如果公民、法人或其他组织因不可抗力（如自然灾害、战争等）或其他不属于其自身的原因耽误了起诉期限，被耽误的时间不计算在起诉期限内。这意味着，在这些特殊情况下，起诉期限可以得到相应的延长。
最长保护期限：
- 需要注意的是，因不动产提起诉讼的案件，自行政行为作出之日起超过二十年提起诉讼的，人民法院不予受理；其他案件则自行政行为作出之日起超过五年提起诉讼的，同样不予受理。这是起诉期限的例外情况，也称为最长保护期限，它限制了当事人提起诉讼的最长时间。
四、实践建议
- 及时行使权利：在知道或应当知道行政机关不履行法定职责后，应尽快在法定期限内提起诉讼，以避免因超过起诉期限而丧失诉讼权利。
- 充分准备证据：在提起诉讼前，应充分准备相关证据材料，如申请书、邮寄凭证、沟通记录等，以证明行政机关未履行法定职责的事实。
- 关注特殊情况：在紧急情况或因不可抗力等原因耽误起诉期限时，应及时向法院说明情况并申请延长起诉期限。
综上所述，行政诉讼不履行法定职责的起诉期限并非一成不变，而是根据具体情况和法律规定综合判断。在实际操作中，应仔细分析案件性质、准确选择适用的法律规范，并确保在法定期限内提起诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。